Teorema de Noether generalizado

Question

O texto que estou lendo afirma que se existe uma simetria gerada por $Q$, e sob esta transformação um operador se transforma por$$f\rightarrow f +\delta f,$$ então pelo teorema de Noether $$\delta f = i\epsilon[Q, f].$$

No entanto, este não é o teorema de Noether com o qual estou acostumado, que vejo ser semelhante a esta afirmação, mas apenas para traduções de tempo (com gerador $H$) Como mostrar essa generalização do teorema de Noether?

Answer 1

Esta parece não ser precisamente a afirmação do teorema de Noether, mas a consequência da equação de movimento de Liouville: $$ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + i \{Q, f\} $$ Onde $\{,\}$- denota colchete de Poisson. Normalmente, você verá hamiltoniano$H$ ao invés de $Q$. No entanto, qualquer cobrança pode ser tratada da mesma maneira que Hamiltionian. E para pequenos$\epsilon$, e $f$ não dependendo explicitamente do tempo, dá: $$ \delta f = i \epsilon \{Q, f\} $$ Como reivindicado

Answer 2

Eu acho que você pode querer dar uma olhada

Baez, JC (2020). Chegando ao fundo do teorema de Noether. pré-impressão arXiv arXiv: 2006.14741.

onde eu acredito que ele discute uma versão do teorema de Noether formulado desta forma na Seção 2.

Na página 15, especificamente, ele discute uma versão do teorema de Noether que é expresso como o colchete de Poisson de duas coisas sendo zero. Você não definiu$\epsilon$ acima, mas acho que talvez seja parte do cálculo de notação que você está usando (e ainda não o conheço), e pode ser equivalente ao que está escrito no artigo de Baez.

Na verdade, a diferença entre os dois me lembra de algo que li recentemente nesta solução sobre o pensamento de derivações (a última linha logo antes da linha Prova de [1]), o que pode explicar a transição.