Teste de continuidade com projeções

Question

E se $Y$ e $X_i$ são espaços topológicos e $\prod_{i\in I}X_i$ tem a topologia do produto, como posso testar a continuidade do mapa $f:Y\rightarrow \prod_{i\in I}X_i$ usando as projeções?

Esta pergunta está relacionada a um problema que postei aqui: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{R}}: x\mapsto (e^{t\sin(x)})_{ t\in \mathbb{R}}$

k.stm resolveu isso usando a topologia do produto. Meu problema é que não consigo ver a conexão entre as projeções e essa prova.

Estou postando isso aqui como uma pergunta geral porque quero investigar a abordagem geral para esses problemas.

Answer 1

Dada uma família $X$ de conjuntos indexados por $I$ e uma familia $\mathscr{T} \in \displaystyle\prod_{i \in I}\mathscr{Top}(X_i)$ de topologias em cada um dos conjuntos $X_i$, vamos denotar por $\displaystyle\bigotimes_{i \in I}\mathscr{T}_i$ a topologia direta do produto no produto cartesiano $\displaystyle\prod_{i \in I}X_i$. E se$p_i \colon \displaystyle\prod_{i \in I}X_i \to X_i$ denota a projeção canônica, então segue direto da definição que dado um espaço topológico arbitrário $(Y, \mathscr{S})$ e um mapa $f \colon Y \to \displaystyle\prod_{i \in I}X_i$ temos a equivalência: $$f \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}\left((Y, \mathscr{S}), \left(\displaystyle\prod_{i \in I}X_i, \displaystyle\bigotimes_{i \in I}\mathscr{T}_i\right)\right) \Leftrightarrow (\forall i)\left(i \in I \Rightarrow p_i \circ f \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}((Y, \mathscr{S}), (X_i, \mathscr{T}_i))\right),$$ que é uma maneira muito rígida e formal de dizer que $f$ é contínuo se e somente se todas as composições $p_i \circ f$ são contínuos para todos $i \in I$.

Na terminologia da qual Bourbaki é adepto, a topologia de produto direto é a estrutura inicial induzida pela família de espaços$\left(X_i, \mathscr{T}_i\right)_{i \in I}$ no produto cartesiano $\displaystyle\prod_{i \in I}X_i$ por meio da família de projeções canônicas.