Teste para uma função contínua

Question

Deixei $f$ ser uma função definida em $[0, 6]$, contínuo em $[0, 6]$ e é fornecido por um terceiro derivado em $]0, 6[.$Qual das seguintes afirmações é falsa ?

$$\fbox{A}\quad f \text{ has no asymptotes; }$$ $$\fbox{B}\quad f \text{ may have no critical points; }$$ $$\fbox{C}\quad f \text{ has a relative maximum or has a minimum relative; }$$ $$\fbox{D}\quad f'' \text{ is continuous in } ]0; 6[;$$ $$\fbox{E}\quad \text{If } f'(5) = f''(5) = 0 \text{ and } f'''(5) = 7, \text{then } f \text{ has an inflection point with a horizontal tangent at } x = 5$$

Abaixo está a pergunta original em italiano. Acima está a tradução.

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Minha tentativa de resolução para encontrar a resposta correta. o$\fbox{A}$ é ser verdadeiro $f$ é contínuo em $[0,6]$. o$\fbox{B}$ é verdade para o teorema de Weierstrass: observe que $[0,6]$é um conjunto fechado. Se eu pensar no polinômio$\deg(p(x))=6$ e $\fbox{C}$para mim é verdade. Para o$\fbox{D}$ Eu pensei que se $f$ e é fornecido por um terceiro derivado em $]0,6[$, quase para $f''$ é contínuo em $]0,6[$. Eu diria que$\fbox{E}$é falso , mas não posso justificar.

Eu pergunto se meu raciocínio está correto ou se há incongruências.

Answer 1

Para mim, C é falso se você entender como extremo relativo (ou extremo local) um extremo em uma vizinhança de um ponto no interior de$[0,6]$. Na verdade, aqui está um contra-exemplo que satisfaz todas as hipóteses, que não tem um máximo local nem um mínimo local em$[0,6]$, embora tenha um máximo e um mínimo: $$f(x)=\frac 76(x-5)^3.$$

Por outro lado, E é verdadeiro, porque se $f'''(5)=7$, é positivo em uma pequena vizinhança de $5$, diga $I=(5-ε, 5+ε)$ (os derivados satisfazem a propriedade de valor intermediário), de modo que $f''$está aumentando neste intervalo. Portanto, se$f''(5)=0$, temos $f''(x)<0$ em $(5-ε,5)$ e $f''(x)>0$ em $(5, 5+ε)$, de modo a $f'$ tem um mínimo local em $I$, que corresponde à definição de um ponto de inflexão.