Tilings do plano e espaços quocientes

Question

Uma rede quadrada tem duas simetrias de translação discretas, isormórficas a $\mathbb{Z}^2$. Se tomarmos o quociente do plano por este grupo,$\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$, obtemos o quadrado com lados opostos identificados, que é o toro.

Um argumento semelhante pode ser desenvolvido para uma rede hexagonal regular? Quer dizer, o quadrado tem duas simetrias translacionais independentes; o mesmo acontece com o hexágono; qual é a diferença, topologicamente? Em outras palavras, o hexágono com lados opostos identifica pode ser visto como o plano "quociente" por alguma relação de equivalência. Mas pode ser visto como o quociente de dois grupos? Ou pelo menos dois espaços?

O mesmo que acima, mas para a estrutura do triângulo equilátero.

Além disso, o grupo de simetria da rede quadrada é maior do que apenas translações, ele tem rotações e reflexos. Podemos considerar um quociente diferente em que no numerador$\mathbb{R}^2$ é substituído por todo o grupo euclidiano 2D, e no denominador $\mathbb{Z}^2$é substituído por todo o grupo de simetria da rede quadrada? O que nós temos?

Onde posso ler uma introdução acessível a esses temas?

Answer 1

o hexágono com lados opostos identifica pode ser visto como o plano "quociente" por alguma relação de equivalência. Mas pode ser visto como o quociente de dois grupos?

Sim. Deixei$H$ ser um subgrupo de $\Bbb R^2$ consistindo em elementos $x$ de modo que uma tradução de $\Bbb R^2$ de $x$mantém uma determinada estrutura hexagonal regular. O grupo$H$é gerado por três traduções por uma célula, cuja soma é o mapa de identidade. Isso é, de fato,$H$ é gerado por quaisquer duas dessas traduções e $H$ é isomórfico a $\Bbb Z^2$. Um grupo topológico quociente$\Bbb R^2/H$é homeomórfico a uma célula hexagonal da rede com os lados opostos identificados, que é um toro novamente.

Podemos considerar um quociente diferente em que no numerador $\Bbb R^2$ é substituído por todo o grupo euclidiano 2D, e no denominador $\Bbb Z^2$é substituído por todo o grupo de simetria da rede quadrada? O que nós temos?

Suponho que por todo o grupo euclidiano 2D você se refere ao grupo $G$de isometrias de$\Bbb R^2$. Deixei$H$ seja o grupo dos elementos de $G$ preservando a rede $\Bbb Z^2$. Para o nosso propósito, é conveniente considerar elementos de$G$ em termos de números complexos . Na descrição em termos de$a$ e $\omega$, os elementos de $H$ são exatamente aqueles com $a\in\Bbb Z^2$ e $\omega\in \{1,-1,i,-i\}$. Desde a$H$ contém um mapa $\bar z$, cada coset $fH$ do $G/H$ cruza ambos $G_+$ e $G\setminus G_+$, Onde $G_+$ consiste em mapas $z\mapsto a+\omega z$. Portanto, devemos estudar o conjunto de quocientes$G_+/H_+$, Onde $H_+=G_+\cap H$.

O grupo $G_+$ pode ser identificado com o conjunto de pares $(a,\omega)$, Onde $a\in\Bbb C$, $\omega\in\Bbb T$e $\Bbb T=\{z\in\Bbb C:|z|=1\}$. Esta identificação impõe$G_+$ uma topologia de um subconjunto de $\Bbb C^2$. Observe que a identificação impõe$\Bbb C\times \Bbb T$ uma operação $(a,\omega) (a’,\omega’)=(a’+\omega’ a, \omega\omega’)$ para qualquer $a,a’\in\Bbb C$ e $\omega,\omega’\in\Bbb T$. Pegando representantes, vemos que$G_+/H_+$ é homeomorfo a um cubo $[0,1]^3$com algumas identificações de seus pontos de fronteira. Ou seja, para cada$x,y,z\in [0,1]$, $(0,y,z)\sim (1,y,z)$, $(x,0,z)\sim (x,1, z)$e $(x,y,0)\sim (y,x,1)$. Este é um toro, cuja superfície inflamos um pouco e então colocamos em um espaço de alta dimensão e colamos sua superfície externa com a interna, trocando paralelos com meridianos.

Answer 2

Há uma diferença dependendo da estrutura da rede que você deseja considerar. Como grupos, todas as redes que você mencionou são iguais. Eles são todos grupos Abelianos livres gerados por dois elementos, então eles são isomórficos a$\mathbb Z^2$. Assim, todos os espaços quocientes correspondentes são os mesmos$\mathbb R^2 /\mathbb Z^2$.

Se você está interessado nas estruturas geométricas das redes, então você deve olhar para seus grupos de simetria. Nesse sentido, existem cinco tipos diferentes de reticulados:

Seus grupos de simetria são alguns dos Grupos de papéis de parede . Esses grupos têm a forma$G = \mathbb Z^2 \times D$, Onde $D$ é um grupo discreto gerado por rotações e reflexões.

Então você considera o grupo de simetria $G$ agindo em $\mathbb R^2$. Quando$D$ é o grupo trivial, você entenderá $$\mathbb R^2 / G = \mathbb R^2/ \mathbb Z^2 \times D \cong \mathbb R^2/\mathbb Z^2.$$Então você está no caso que você mencionou no início de sua pergunta. Em geral, o espaço quociente$$\mathbb R^2 / G \cong \mathbb T^2/D$$ será um Orbifold, $i.e.$um espaço geométrico que é uma variedade, exceto para um conjunto finito de pontos (dê uma olhada na seção "notação orbifold" no link anterior). Você pode realizar as identificações intuitivas na região fundamental do seu padrão. Além disso, esses orbifolds caracterizam as simetrias disponíveis para papéis de parede.

Tudo isso é muito bem explicado no livro "As simetrias das coisas", de J. Conway, C. Goodman-Strauss e H. Burgiel.