Toposes apenas com encomendas de pontos

Question

Para um topos Grothendieck $\mathcal{E}$, as seguintes afirmações são equivalentes?

$(i)$ $\mathcal{E}$ é local.
$(ii)$ O morfismo geométrico diagonal $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \times \mathcal{E}$é uma incorporação. (Aqui$\mathcal{E} \times \mathcal{E}$ é o topos do produto, não a categoria do produto.)
$(iii)$ Para cada topos Grothendieck $\mathcal{E}'$, $\mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E})$ é uma pré-encomenda (sem transformações geométricas paralelas).

As implicações $(i) \Rightarrow (ii)$ e $(ii) \Rightarrow (iii)$ segure:

• $(i) \Rightarrow (ii)$: Qualquer morfismo diagonal $X \to X \times X$(em qualquer categoria) é um mono dividido e um mono dividido de locales é uma incorporação. O functor (esquecido) de localidades a toposes preserva o produto e transforma os encaixes de locais em encaixes geométricos.
• $(ii) \Rightarrow (iii)$: Se $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \times \mathcal{E}$ é um embedding, então o functor diagonal $\mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E}) \to \mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E} \times \mathcal{E}) \simeq \mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E}) \times \mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E})$deve ser totalmente fiel. Mas isso significa exatamente que$\mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E})$ é uma encomenda.

Então, em resumo, é um topos com apenas uma encomenda de $\mathcal{E}'$com base em pontos para cada $\mathcal{E}'$ já localic?

Answer 1

$(i) \Leftrightarrow (ii)$é verdadeira e é a Proposição C.2.4.14 nos Esboços de um elefante de Peter Johnstone. De forma mais geral, ele mostra que um morfismo geométrico limitado$f: \mathcal{E} \to \mathcal{S}$ é local se e somente se $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \times_{\mathcal{S}} \mathcal{E}$ é uma incorporação.

$(ii)$ e $(iii)$ não são equivalentes: há uma grande lacuna entre "a diagonal é um monomorfismo" e "a diagonal é um encaixe"

Para um exemplo típico, execute uma ação gratuita, mas inadequada de um grupo $G$ em um local (ou espaço) $X$. Para consertar a ideia, pegue$G = \mathbb{Z}$ agindo em $X=S^1$ o círculo unitário por rotação por um ângulo irracional.

O topos dos feixes equivariantes $X//G$ classifica "órbitas" para a ação de $G$ sobre $X$, Aquilo é um $G$-tor $T$ (um principale $G$-bundle) junto com um $G$- mapa equivariante $T \to X$. Como a ação é livre, a categoria de ponto em qualquer topos não terá morfismos não triviais.

Mas esse topos não é de forma alguma local: seus objetos subterminais são os $G$-invariant open subconjunto, portanto, em nosso exemplo concreto, é o único $\emptyset$ e $1$.

Também se pode calcular o mapa diagonal. $\mathcal{T} \times \mathcal{T}$ pode ser mostrado como o topos correspondente à ação de $G \times G$ sobre $X \times X$. Subtópicos disso corresponderiam a$G \times G$-sublocais equivariante de $X \times X$ e a diagonal não é $G \times G$-equivariant.

Para fazer uma construção mais explícita, podemos usar isso para um grupo discreto $G$, um topos localic sobre $BG$ (o topos de $G$-set) é o mesmo que um local com um $G$-açao. $\mathcal{T}$ corresponde a $X$ com o seu $G$ açao. $\mathcal{T} \times \mathcal{T} \to BG \times BG$ também é local (produto do mapa local), e a localidade correspondente é obtida puxando para trás ao longo do ponto $* \to BG \times BG$, o que permite ver que o local correspondente é de fato $X \times X$. Agora se eu ver$\mathcal{T}$ sobre $BG \times BG$ como $\mathcal{T} \to \mathcal{T} \times \mathcal{T} \to BG \times BG$, então corresponde ao local $X \times G$ Onde $G \times G$ age em $X$ e $G$ separadamente (para ser mais simétrico é o local dos trigêmeos $(x,x',g)$ Onde $x'=gx$)

Como local com $G \times G$ ação, o mapa diagonal de $\mathcal{T}$ portanto corresponde ao mapa $X \times G \to X \times X$ que envia $(g,x)$ para $(x,gx)$. Que é mono porque$G$ age livremente, mas não é incorporado.

Claro que algumas das afirmações que fiz acima exigiriam uma prova ... mas isso pode ser um pouco longo para MO.