Um limite com um arctan

Question

Eu preciso calcular outro limite, $$ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^{\sin\left(2/x\right)}$$

Não tenho ideia de como começar ou o que fazer porque nunca lidei com um arctan em um limite antes.

O que devo fazer primeiro?

Answer 1

$\lim_{x \to \pi/2} \tan x = \infty$, assim $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$, Como $\tan x$ e $\arctan x$ são funções inversas uma da outra para $x \in [0, \pi/2)$.

O resto é apenas substituição direta. Voce deveria pegar:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{\sin(0)} = \lim_{x \to \infty} 1^0 = \boxed{1}.$$

Answer 2

Em primeiro lugar: não entre em pânico! :-)

Existe uma boa identidade para o arco tangente: $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}= \begin{cases} \pi/2 & x>0 \\[4px] -\pi/2 & x<0 \end{cases} $$ Uma vez que o limite é para $x\to\infty$, não é restritivo assumir $x>0$, assim $$ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x} $$ e, configuração $y=1/x$, o limite se torna $$ \lim_{y\to0^+}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\arctan y\Bigr)^{\sin2y} $$ que não é uma forma indeterminada porque é $1^0=1$.