Um problema de álgebra de Left Hilbert.

Question

Fiquei preso ao seguinte problema ao ler a Seção 10.1 do livro 'Lectures on von Neumann Algebras' de Strătilă e Zsidó.

Deixei $\mathfrak{A}$ ser uma álgebra complexa com involução, que também é dotada de um produto escalar $\langle\cdot | \cdot\rangle$. Denotamos por$\xi\mapsto\xi^{\text{#}}$ a involução em $\mathfrak{A}$ e por $\mathscr{H}$ o espaço de Hilbert obtido pela conclusão de $\mathfrak{A}$. Denotamos por$\mathfrak{A}^2$ o espaço vetorial gerado pelos elementos do formulário $\xi\eta,\,\xi,\,\eta\in\mathfrak{A}$. Alguém diz isso$\mathfrak{A}$ é uma álgebra de Hilbert esquerda se

1. $\mathfrak{A}\ni\eta\mapsto\xi\eta\in\mathfrak{A}$ é contínuo, para qualquer $\xi\in\mathfrak{A}$.
2. $\langle\xi\eta_1|\eta_2\rangle=\langle\eta_1|\xi^{\text{#}}\eta_2\rangle$ para qualquer $\xi,\,\eta_1,\,\eta_2\in\mathfrak{A}$.
3. $\mathfrak{A}^2$ é denso em $\mathfrak{A}$.
4. $\mathscr{H}\supseteq\mathfrak{A}\ni\xi\mapsto\xi^{\text{#}}\in\mathscr{H}$ é um operador antilinear pré-fechado.

Em concordância com $1$, para qualquer $\xi\in\mathfrak{A}$, um definir $L_{\xi}\in\mathscr{B}(\mathscr{H})$ pela fórmula $L_{\xi}(\eta)=\xi\eta,\,\eta\in\mathfrak{A}$.

Problema: prove isso$I\in\overline{\{L_{\xi}:\xi\in\mathfrak{A}\}}^{so}$, Onde $I$ é o mapa de identidade em $\mathscr{H}$ definido por $I(\eta)=\eta,\,\eta\in\mathfrak{A}$.

Os autores dizem que decorre de propriedade $3$, mas não estou conseguindo argumentar isso. Agradecemos antecipadamente por qualquer ajuda.

Answer 1

Vamos denotar $\mathscr{A}=\{L_{\xi}:\xi\in\mathfrak{A}\}$. Consertar$\eta\in\mathscr{H}$ e deixar $\Large\chi$$= \ overline {\ mathscr {A} \ eta} $ . Então, como $ \ Large \ chi $ e $ \ Large \ chi$$^{\perp}$ ambos são invariantes sob $\mathscr{A}$, então a projeção ortogonal $P_{\Large\chi}$ no subespaço $\Large\chi$ é em $\mathscr{A}'$. Queremos mostrar isso$\eta\in\Large\chi$. Agora para todos$\xi\in\mathfrak{A}$, \ begin {equation *} \ begin {split} L _ {\ xi} \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta = \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) L _ {\ xi} (\ eta) = 0, \\ \ text {ie} {L _ {\ xi}} ^ * \ big (I-P _ {\ large \ chi} \ big) \ eta = L _ {\ xi ^ {\ text {#}}} \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta = 0, \\ \ text {ie} \ langle \ zeta, {L _ {\ xi}} ^ * \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta \ rangle = 0 \ text {para todos} \ zeta \ in \ mathscr {H}, \\ \ text {ie} \ langle L _ {\ xi } (\ zeta), \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta \ rangle = 0 \ text {para todos} \ zeta \ in \ mathscr {H}. \ end {split} \ end {equation *} Mas como$\mathfrak{A}^2\subseteq \{L_{\xi}(\zeta):\xi\in\mathfrak{A},\zeta\in\mathscr{H}\}$ é denso em $\mathfrak{A}$, portanto, é denso em $\mathscr{H}$. Portanto$\big(I-P_{\Large\chi}\big)\eta=0$, ie $\eta\in\Large\chi$.