Um problema de cálculo fácil

Question

Aqui está a questão - Encontre a área máxima de um triângulo isósceles inscrito na elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$. Meu professor resolveu considerando dois pontos arbitrários na elipse como vértices do triângulo, sendo$(a\cos\theta, b\sin \theta)$ e $(a\cos\theta, -b\sin \theta)$. (Vamos apenas dizer$\theta$ é theta) e então procedeu com os testes de derivada (que eu entendi) Mas, ele não indicou o que nosso $\theta$foi, e declarou que esses pontos sempre ficam em uma elipse. Por quê então? E, mesmo se o fizerem, qual é a garantia de que os pontos dessa forma serão nossos vértices necessários? Mais uma coisa, agradeceria se você pudesse sugerir outra maneira de resolver esse problema. Obrigado!

Answer 1

Se acreditarmos no argumento da simetria, é simples otimizar a área:

$$A_1 = a b \sin \theta (1+ \cos \theta)$$

$$A_2 = a b (1+ \sin \theta) \cos \theta$$

$$0=\frac{\partial A_1}{\partial \theta}=a b [\cos\theta (1+ \cos \theta)-\sin^2 \theta] = ab [\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \cos \theta]$$

$$0=\frac{\partial A_2}{\partial \theta}=a b [\cos^2 \theta - \sin \theta(1+ \sin \theta)]= ab[\cos^2 \theta - \sin^2 \theta-\sin \theta]$$

Soluções para a primeira equação incluem um mínimo de $\theta=\pi$ e máximos em $\theta = \mp \frac{\pi}{3}$.

Soluções para a segunda equação incluem um mínimo de $\theta=-\frac{\pi}{2}$ e máximos em $\theta = \frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}.$

Interessante, temos soluções alinhadas com o $x-$eixo e o $y-$eixo!

Você certamente pode resolver o problema tomando três pontos arbitrários na elipse, restringindo-os a se situarem em triângulos de iscoceles e, em seguida, usar multiplicadores de Lagrange. As soluções serão as encontradas acima.