Uma melhoria do teorema de Sobczyk
O teorema de Sobczyk afirma que se um espaço de Banach separável $X$ contém um subespaço isométrico para $c_{0}$, então $X$ contém um subespaço $Z$ que é isométrico para $c_{0}$ e é $2$-complementado em $X$. Uma vez que cada projeção de$c$ em seu subespaço $c_{0}$tem norma pelo menos dois, a constante de projeção no teorema de Sobczyk não pode ser melhorada em geral. Em 1999, PN Dowling, N. Randrianantoanina e B. Turett ( Observações sobre os teoremas de distorção de James II, Bull. Austral. Math. Soc. 59 (1999), 515-522 ) provaram o seguinte teorema:
Teorema: Deixe$X$ ser um espaço de Banach para que a bola unitária $B_{X^{*}}$é fraco * - sequencialmente compacto. Se$X$ contém um subespaço isomórfico para $c_{0}$, então, para cada $\epsilon>0$, existe um subespaço $Z$ de $X$ e uma projeção $P$ a partir de $X$ para $Z$ de tal modo que $Z$ é $(1+\epsilon)$-isomórfico para $c_{0}$ e $\|P\|\leq 1+\epsilon$.
Um resultado semelhante a este teorema foi provado por S. Diaz e A. Fernandez (S. Diaz e A. Fernandez, Reflexivity in Banach lattices, Arch Math. 63 (1994), 549-552 ) na configuração de espaços de Banach não contendo cópia isomórfica de$l_{1}$. PN Dowling, N. Randrianantoanina e B. Turett colocaram a seguinte questão natural:
Pergunta: Se um espaço de Banach$X$ contém uma cópia complementada de $c_{0}$, então, para cada $\epsilon>0$, existe um subespaço $Z$ de $X$ e uma projeção $P$ a partir de $X$ para $Z$ de tal modo que $Z$ é $(1+\epsilon)$-isomórfico para $c_{0}$ e $\|P\|\leq 1+\epsilon$?
Não sei se esta questão está resolvida ou existem alguns resultados sobre esta questão.
Obrigada!
Respostas
Narcisse e eu demos um contra-exemplo em
Johnson, William B. (1-TXAM); Randrianantoanina, Narcisse (1-MMOH) Sobre versões complementadas dos teoremas de distorção de James. (Resumo em inglês) Proc. Amer. Matemática. Soc. 135 (2007), no. 9, 2751–2757.
Você poderia ter descoberto isso apenas verificando nas revisões do MathSciNet de artigos que faziam referência ao artigo [DRT].