เจาะวัดในชุด
ปล่อย $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ถูกต้อง - ต่อเนื่อง ($f(x) = \lim\limits_{h\to 0^+} f(x+h) \,\forall x \in \mathbb{R}^n$) และ $n$- เพิ่มขึ้น (เช่น $\Delta_{(a,b]} F \geq 0\,\forall a \leq b$ (ที่นี่ $\leq $ เป็นที่เข้าใจโดยส่วนประกอบ) โดยที่ปริมาตรของช่วงเวลาหลายตัวแปรภายใต้ $f$ คือ $\Delta_{(a,b]}F := \sum_{i\in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_{j=1}^n i_j} F(a_1^{i_1}b_1^{1-i_1},\cdots, a_n^{i_n}b_n^{1-i_n}).$ แสดงว่ามีการวัดโบเรลเฉพาะ $\mu_F$ ดังนั้น $\mu_F((a,b]) = \Delta_{(a,b]} F, a\leq b.$
ฉันคิดว่าฉันควรใช้ทฤษฎีบทส่วนขยายของ Caratheodory ฉันกำลังคิดว่าจะใช้แหวน$R := \{(a,b] \in \mathbb{R}^n : a\leq b\} = \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),$ ที่ไหน $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ หมายถึง Boreal $\sigma$- พีชคณิตบน $\mathbb{R}^n.$ ฉันต้องการกำหนดมาตรการล่วงหน้า $\mu_0$ บน $R,$ พูด $\mu_0(\cup_{i=1}^\infty (a_i, b_i]) = \sum_{i=1}^\infty \Delta_{(a_i,b_i]} F.$ จากนั้นถ้าฉันสามารถตรวจสอบได้ว่านี่เป็นมาตรการล่วงหน้าก็จะมีสิ่งนั้นอย่างชัดเจน $\mu_F(A) = \mu_0(A)$ สำหรับทุกชุดที่ไม่ใช่ค่าว่างของ $R,$ ตามทฤษฎีบทส่วนขยายของ Caratheodory $\mu_F$ ไม่เหมือนใคร
สิ่งนี้ไม่ถูกต้องหรือไม่?
คำตอบ
ดังที่คุณได้กล่าวไว้ในโพสต์ของคุณสิ่งนี้อาจได้มาจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทส่วนขยายของ Caratheorody แม้ว่าจะสะดวกกว่าในการพิจารณา semirings (ดูพื้นฐานความน่าจะเป็นของ Kallenberg)
พิจารณามาตรการเกี่ยวกับช่องว่าง Borel $(\mathbb{R}^d,\mathscr{B}(\mathbb{R}^d))$. สำหรับ${\bf x},\,{\bf y}\in\,\mathbb{R}^d$เราใช้สัญกรณ์ ${\bf x}\leq {\bf y}$และ ${\bf x}<{\bf y}$ เพื่อระบุว่า $x_k\leq y_k$ และ $x_k<y_k$ ตามลำดับและให้เราแสดงด้วย ${\bf e}=(1,\ldots,1)^\top$. สุดท้ายพิจารณาคอลเลกชัน$\mathscr{E}$ ของทั้งหมด $d$- ช่วงมิติ $\prod^d_{k=1}(a_k,b_k]=({\bf a},{\bf b}]$ ด้วย $a_k\leq b_k$ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นการเรียนรู้
สำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ $F:\mathbb{R}^d\longrightarrow\mathbb{R}$ กำหนด $j$- ตัวดำเนินการเพิ่ม $$\Delta_j(a,b)F({\bf s})= F(s_1,\ldots,s_{j-1},b,s_{j+1},\ldots,s_d)-F(s_1,\ldots,s_{j-1},a, s_{j+1},\ldots,s_d)$$ และอนุสัญญาที่ชัดเจนสำหรับ $j=1$ และ $j=d$. อย่างชัดเจน$\Delta_j(a, b)$ เป็นเส้นตรง
สำหรับคู่ $\{(a_j,b_j):j=1,\ldots,n\}$ ด้วย $a_j<b_j$, เราใช้ $\prod^n_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)$ องค์ประกอบ $\Delta_n(a_n,b_n)\circ\prod^{n-1}_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)$, ที่ไหน $\prod^1_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)=\Delta_1(a_1,b_1)$.
ปล่อย $F:\mathbb{R}^d\longrightarrow\mathbb{R}$ ถูกต้อง - ต่อเนื่องกล่าวคือ $\lim_{{\bf x}\searrow{\bf a}}F({\bf x})=F({\bf a})$. สำหรับ$a\leq b$ และ $1<j<d$ แสดงโดย
ทฤษฎีบท:สมมติว่า$F$ถูกต้อง - ต่อเนื่องและมีส่วนเพิ่มที่ไม่เป็นค่าลบเช่น$\mu(({\bf a},{\bf b}]):=\prod^d_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)F\geq0$ สำหรับใด ๆ $d$- ช่วงเวลามิติ $({\bf a},{\bf b}]$. แล้ว$\mu$ ยอมรับการขยายการวัดบน $\sigma$--พีชคณิต $\mathcal{M}_\mu\supset\mathscr{B}(\mathbb{R}^d)$.
ร่างหลักฐาน:
อย่างชัดเจน $\mu(\emptyset)=0$ และ $\mu$ มีการเติมแต่งอย่างประณีต $\mathscr{E}$. ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่า$\mu$ เป็น subadditive ที่นับได้ $\mathscr{E}$. ถ้า$({\bf a},{\bf b}]=\bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}(m)]$ด้านขวา - ความต่อเนื่องและความเป็นบวกของการเพิ่มขึ้นของ $F$ บอกเป็นนัยว่าสำหรับใด ๆ $\varepsilon>0$มี ${\bf a}_\varepsilon$ และ ${\bf b}_\varepsilon(j)$ ดังนั้น $$ \mu(({\bf a},{\bf b}])< \mu(({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}])+\tfrac{\varepsilon}{2}; \quad \mu(({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m)])< \mu(({\bf a}(m),{\bf b}(m)])+\tfrac{\varepsilon}{2^{m+1}} $$ ตั้งแต่กล่องปิด $[{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]$ มีขนาดกะทัดรัดและ $$\begin{align}\label{compactbox} [{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}] \subset ({\bf a},{\bf b}]\subset \bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}(m)]\subset \bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m))\tag{1}label{compactbox} \end{align} $$ มี $N_0\in\mathbb{N}$ ดังนั้น $({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]\subset[{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]\subset \bigcup^{N_0}_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m))$. Finite additivity หมายถึงความอ่อนไหวย่อยที่ จำกัด ในเซมิริ่ง$\mathscr{E}$ดังนั้น $$\begin{align} \mu(({\bf a},{\bf b}])&<\mu(({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]) +\tfrac{\varepsilon}{2} \leq \sum^{N_0}_{m=1}\mu(({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m)]) + \tfrac{\varepsilon}{2}\\ &\leq \sum^\infty_{m=1}\mu(({\bf a}(m),{\bf b}(m)])+\varepsilon \end{align} $$ ความละเอียดอ่อนนับไม่ถ้วนของ $\mu$ บน $\mathscr{E}$ ตามด้วยการให้ $\varepsilon\searrow0$. ข้อสรุปดังกล่าวมาจากทฤษฎีบทส่วนขยายของ Carath'eodory