ปัญหาเรขาคณิต - IOQM

Question

ใน $\triangle ABC$, $AC = BC$, $\angle C=20^{\circ}$, $M$ อยู่ด้านข้าง $AC$ และ $N$ อยู่ด้านข้าง $BC$, ดังนั้น $\angle BAN=50^{\circ}, \angle ABM = 60^{\circ}$. หา$\angle NMB$ เป็นองศา

เป็นคำถามระดับ INMO-IOQM และฉันไม่สามารถแก้ไขได้โปรดช่วยด้วย ฉันพยายามไล่ตามมุม แต่ก็ไม่เป็นประโยชน์

Answer 1

โซลูชันตรีโกณมิติ

ปล่อย $\angle NMB=\alpha$

$\dfrac{BN}{\sin\alpha}=\dfrac{MB}{\sin(160-\alpha)}$,$\triangle NMB$,และ, $\dfrac{AB}{\sin40}=\dfrac{MB}{\sin 80}$, $\triangle AMB$ (ทฤษฎีบทไซน์)

ตั้งแต่ $AB=BN$แล้ว

$\dfrac{\sin\alpha}{\sin(160-\alpha)}=\dfrac{\sin40}{\sin 80}=\dfrac{1}{2\cos40}$

$\sin(160-\alpha)=2 \sin\alpha \cos40=\sin(\alpha+40)+ \sin(\alpha-40)$

$\sin(160-\alpha)- \sin(\alpha-40)=\sin(\alpha+40)$

$2\cos60 \sin(100-\alpha)=\sin(\alpha+40)$

$\sin(100-\alpha)=\sin(\alpha+40)$

1. กรณี

$100-\alpha=\alpha+40 \implies \alpha=30$

1. กรณี

$100-\alpha+\alpha+40=180 \implies 140\not=180$ , NA

Answer 2

ใช้จุด P บน AC ระหว่าง A และ M เช่นนั้น $\angle ABP=20$

ดังนั้น $BA=BP$

$\angle PMB= \angle PBM= 40$

ดังนั้น $PB=PM$

$\angle BAN= \angle BNA= 50$

ดังนั้น $BA=BN$

ดังนั้น $\triangle BPN$ คือสามเหลี่ยมด้านเท่า

$PN=PM$ และ $\angle MPN=40$

สุดท้าย

$\angle PMN= \angle PNM= 70$

$\angle NMB= 30$