$0$- yonca ve sekiz rakamı üzerinde ameliyatlar

Ağır makineleri getirmekten memnunsanız, Heegaard Floer homolojisinin 'şapka' versiyonu gibi bir çeşit Floer homolojisi hesaplayabilirsiniz: bu, $S^3_0(3_1)$ ve 4. sırada $S^3_0(4_1)$yani farklılar.

Öte yandan, aklınızda çok özel bir 3-manifold çiftinin olduğu bu gibi durumlarda, bazı sonlu sıraları sayarak temel gruplarını ayırmak genellikle yeterlidir. Burada, ilgili düğüm gruplarının Wirtinger sunumlarından başlayarak bunu elle çözebilir veya SnapPy'den yapmasını isteyebilirsiniz:

In[1]: len(Manifold('3_1(0,1)').covers(9))
Out[1]: 4


In[2]: len(Manifold('4_1(0,1)').covers(9))
Out[2]: 2

Bu, her 0 ameliyatın 9 katını sayar ve sayılar farklı olduğundan, farklı temel gruplara sahip olmaları gerekir.

Geometrik olarak da ayırt edilebilirler. Her iki düğüm de cins bir lifli düğümdür, dolayısıyla her ikisi de$M$ ve $N$ çemberin üzerindeki simit demetleridir.

Sekiz rakamının tamamlayıcısı hiperboliktir, bu nedenle fibrasyonun monodromisi sözde Anosov'dur. Dolayısıyla monodromi$N$ Anosov ve $N$ Sol geometrisine sahiptir.

Trefoil'in tamamlayıcısı Seifert'in taban orbifold ile fiberleştirilmiş olup, 2 ve 3 dereceli koni noktalarına sahip bir disktir. Boylam, sınırda 6 kez sıradan bir daire fiber ile kesişir, bu nedenle $M$ Seifert, 2, 3 ve 6 mertebesinde koni noktalarına sahip küre üzerinde liflidir.

Dan beri $M$ ve $N$ farklı geometrik yapıları kabul eden kapalı manifoldlardır, homeomorfik değildirler.

Ayrıca, monodrominin olup olmadığını kontrol etmek mümkündür. $M$ simit demeti sonlu olan 6. sıraya sahip olduğundan $M$ aslında bir Öklid yapısını kabul ediyor.

Buna toplu olarak mutfak lavabosunu fırlattığımız sürece, düğümün Alexander polinomunun 0-dalgalı manifoldun değişmezi olduğuna dikkat edin. Bu nedenle şekil sekiz ve yonca düğümler farklı polinomlara sahip olduğundan, 0 ameliyatları homeomorfik değildir.

Bu, Josh'un geometrik argümanının topolojik bir karşılığıdır.

Dan beri $H_1(M) \cong H_1(N) \cong \mathbb{Z}$, bunlardan yalnızca bir tane 6-kat döngüsel örtü vardır; onları ara$M'$, $N'$. Her ikisi de$M'$ ve $N'$ her ikisi de çemberin üzerindeki simit demetleridir ve bunların monodromları, monodromların altıncı güçleridir. $M$ ve $N$. Tekdüzeliğinden beri$M$ kimliğin altıncı köküdür ancak $N$ değil $M'$ dır-dir $T^3$, süre $N'$ değil.

Bu, yukarıdaki argümanlardan biraz daha basittir. Bu iki manifold için (0,1) ameliyatların çift kapakları farklı homolojilere sahiptir.

Şekil 8 düğümlü kompleman üzerindeki (0,1) cerrahisinin çift kaplaması, Z / 5Z + Z homolojisine sahiptir. (0,1) ameliyatının yonca düğüm komplemanı üzerindeki çift kaplaması, Z / 3Z + Z homolojisine sahiptir.

Manifoldları kapaklarının homolojileriyle ne kadar iyi ayırt edebileceği belirsizdir ve bazı Sol simit demetleri için başarısız olduğu bilinmektedir. Bununla birlikte, başarılı olduğunda, manifoldları ayırt etmek için somut bir değişmez sağlar.

Ayrıca, herhangi iki köprü düğüm tamamlayıcısı S ^ 3 \ TBL (p, q) 'nun çift örtüsü, L (p, q)' da bir sıfır-homolog düğüm tamamlayıcısının tamamlayıcısıdır. Dolayısıyla (0,1) cerrahinin çift kaplaması gibi Z / pZ + Z homolojisine sahiptir ((0,1) eğrisinin döngüsel kaplamalarda kaldırıldığını örtük olarak kullanıyorum). Bu durumda, yonca (3,2) iki köprü düğümüdür ve sekiz şeklindeki düğüm (5,2) iki köprü düğümüdür. Dolayısıyla bu, iki köprü düğümlü tamamlayıcılar üzerindeki birçok (0,1) ameliyatı çiftini ayırt etmek için etkili bir tekniktir.