4 noktadan parabol
Düzlemde üç sabit nokta verilmiştir.
Verilen üç sabit nokta ile birlikte, parabolün değişken dördüncü nokta ile denklemi nedir $(x,y)$ ve parabolün hangi geometrik özelliği, Jean Marie tarafından tanımlanan kırmızı bölgede olmayan değişken nokta tarafından değiştirilir?
Sorumu açıklamama izin verin:
Üç nokta, benzersiz bir çevre yarıçapına sahip bir daireyi tanımlar . Beş nokta, benzersiz bir eksantrikliğin konisini belirler .
Ve aynı şekilde , dört noktadan geçen bir parabolün benzersiz özelliği nedir?
İki parabol elde ederek ayırıcıyı standart genel koni biçiminde sıfıra ayarladığımı hatırlıyorum $y=\pm \sqrt{ax+b}+(cx+d $) 4 sabit ile, ancak açılarından zarif bir forma hemen kavuşamadı. $(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)$veya mümkünse iki faktörün bir ürünü olarak.
Şimdiden teşekkürler.
Yanıtlar
Bu, burada ele alındığı şekliyle "Newton problemi" olarak yeniden adlandırılabilir: http://www2.washjeff.edu/users/mwoltermann/Dorrie/45.pdf Bir parabolün (aslında ikisinin) 4 noktadan geçebildiği gösterilmiştir.
Durum ($C_1$): 4 nokta dışbükey bir dörtgen oluşturur.
Sonuç olarak, izin ver $T$üç başlangıç noktasının oluşturduğu "dolu" üçgen olabilir. Sonra koşul ($C_1$) eşdeğerdir
Durum ($C_2$): [3 birinci nokta ve dördüncü nokta boyunca bir parabol vardır] ancak ve ancak dördüncü nokta aşağıdaki şekilde gösterilen yasaklanmış kırmızı bölgenin tamamlayıcı kümesindeyse (üçgen $T$ + $3$ dikenli bölgeler).
Şekil 1: Dördüncü nokta için yasak bölgeler (kırmızı). _
Açıklama: Durumla ilgili bir hatamı işaret eden Oscar Lanzi'ye çok minnettarım. $(C_2)$önceki bir formülasyonda; dahası, noktaların bir paralelkenar oluşturduğu istisnai durumu işaret etti: bu durumda, parabol (ler) 2 paralel çizgiye dönüşür.
$(C_2)$ aşağıdaki koşula eşdeğerdir:
Durum $(C_3)$: Dördüncü noktanın iki merkezli koordinatları iki pozitif ve bir negatif bileşene sahip olmalıdır.
Sonuç olarak, $(C_3)$ eşdeğerdir:
Durum $(C_4)$: [İlk 3 nokta ve dördüncü noktadan geçen bir parabol vardır] ancak ve ancak
$$\dfrac{\begin{vmatrix}x_4&x_2&x_3\\ y_4&y_2&y_3\\1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_1&x_4&x_3\\ y_1&y_4&y_3\\ 1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_4\\ y_1&y_2&y_4\\ 1&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\ 1&1&1\end{vmatrix}^3}\color{red}{<0}$$
(Üs 3 bastırılabilir.)
Bu, determinantların simetrik bir ürünü formuna dönüştürülebilir:
$$\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_2&x_3&x_4\\ y_2&y_3&y_4\\ 1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_3&x_4&x_1\\ y_3&y_4&y_1\\ 1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_4&x_1&x_2\\ y_4&y_1&y_2\\ 1&1&1\end{vmatrix}\color{red}{>0}$$
İşaret değişikliği, belirleyicileri simetrik forma sokmak için bazı sütun çiftlerinin değiştirilmesinden kaynaklanmaktadır.
Yukarıda verilen referansla ilgili açıklama: M. Woltermann (Washington ve Jefferson Koleji) büyük bir görev üstlendi: Bu arada Heinrich Dörrie tarafından 1932'de Almanca olarak yayınlanan ünlü "Matematikte Yüz Büyük Sorunlar" kitabının orijinal halinin dijital bir versiyonunu sağlamak ( akıllıca) tımar etmek . Bu, özellikle kitabın orijinal versiyonunda bulunabilecek alternatif bir yansıtmalı yöntemden bahseden son cümleyi açıklar. 208 n ° 45 burada .
Bir çok detaylı analiz Newton'un sorunun bulunabilir burada .
Geliştirme aşamasındaki bölüm : Aşağıdaki parametrik denklemleri bir parabole vermenin her zaman mümkün olduğu gerçeğini kullanarak kendi projektif ispatımı geliştirmeye çalıştım:
$$x=\tfrac{at^2+bt+c}{t-d}, \ \ \ y=\tfrac{et^2+ft+g}{t-d} \tag{1}$$
((1) hakkında sezgi almak için bir ipucu: ne zaman $t=d$parabolün sonsuzluğunda eşsiz bir nokta vardır).
Lütfen unutmayın $7$ bilinmeyenler $a,b,c,d,e,f,g$.
Dördüncü bir noktayı bu parabole ait olarak sınırlamak sayısal örnekler üzerinde işe yarar, ancak genel bir gerekçe bulmakta biraz zorlanıyorum.