AB - BA = Z komütatör

Question

Tüm gerçek sayıları belirle $x$ var olan $3\times3$ gerçek matrisler $A$ ve $B$ öyle ki \begin{align*} AB -BA = \begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\ \end{pmatrix} \end{align*} Çözüm:

Fikir: Bir kare matris $Z$ "komütatör" denir $Z=XY-YX$ bazı matrisler için $X$ ve $Y$. Sonra iz ($Z$) $= \sum z_{ii}=0$ çünkü iz ($XY$)$=$iz$(YX)$ tüm matrisler için $X$ ve $Y$ ikisi de kimin ürünü $XY$ ve $YX$kare. Bu problemde matris$\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\\end{pmatrix}$bir komütatör gibi davranmak. Öyleyse her iki tarafın izini sürün.\begin{align*} \text{tr}(AB -BA) &= \text{tr}\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\ \end{pmatrix}\\ \text{tr}(AB) - \text{tr}(BA) &= x\\ \end{align*} Herhangi bir matrisin olduğunu biliyoruz $A$ ve $B$ öyle ki tr ($AB$) $=$ tr ($BA$). Yani şunu söyleyebiliriz eğer$x=0$ sonra tr$(AB) =$ tr$(BA)$, yukarıdaki ifade geçerlidir. Eğer$x\neq 0$ sonra tr$(AB)$$\ neq $ tr $ (BA) $ , yukarıdaki ifade tutmuyor

Eğer $ x = 0 $ orada var 3 $ \ times3, $ gerçek matrisleri A $ $ ve $ B, $ öyle ki tr $ (AB) = $ tr $ (BA) $
ise $ x \ neq0 $ orada mevcut değil 3 $ \ times3 $ tr $ (AB) = $ tr $ (BA) $ olacak şekilde $ A $ ve $ B $ reel matrisler

Bu soruna cevabım bu. Ama profesörüm problemdeki denklemi karşılayan $ A, B $ matrislerinin olduğunu kanıtlamadığımı söyledi . Bu matrislerin varlığını nasıl kanıtlarız?

Answer 1

İki matris sergileyebilirsiniz $A$ ve $B$ verilen denklemi sağlayan $x=0$. Daha küçük sorunu çözmeye çalışabilirsiniz$$ XY-YX=Z:=\pmatrix{1&0\\ 0&-1}\tag{1} $$ilk. Sonra büyüt$X$ ve $Y$ ikiye $3\times3$ matrisler $A$ ve $B$ her birinin ortasına sıfır satır ve sıfır sütun ekleyerek $X$ ve $Y$.

Çözmek için $(1)$, bir seçebilirsin $X$ rastgele (bu özel için $Z$ içinde $(1)$, Yok diyagonal matris almak; neden biliyor musun?) ve çöz$Y$. Dan beri$Y$Dört girişi varsa, dört bilinmeyenli dört doğrusal denklem sisteminiz var. Seçimi olmadığı sürece genellikle çözülebilir$X$çok kötü. Mevcut sorunumuz için çok iyi bir seçim$(1)$ dır-dir $X=\pmatrix{0&1\\ 1&0}$.

Denklem hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız $XY-YX=Z$, Kahan'ın makalesine bakın Yalnızca Komütatörlerin İzi Sıfıra Sahiptir .