Açık bir set içinde kapalı disk

Question

Açık bir seti düzeltelim $A$ karmaşık düzlemde $\mathbb{C}$ öklid topolojisi ile donatılmıştır.

Düzeltelim $z_0 \in A$ (varsayalım $A$ boş değil).

O zaman belli ki kapalı bir disk var $\overline{B_r(z_0)}$ merkezli $z_0$, yarıçap $r>0$ ve içerdiği $A$.

Şimdi, başka bir kapalı disk olduğunu nasıl gösterebilirim $\overline{B_s(z_0)}$ öyle ki $\overline{B_r(z_0)} \subseteq \overline{B_s(z_0)} \subseteq A$?

İnternette arama yaptım ama bir cevap bulamıyorum. Ve buna nasıl yaklaşacağım konusunda hiçbir fikrim yok.

Teşekkür ederim!

DÜZENLEME: Aslında bir yolunu bulduğumu düşünüyorum. En aza indirilecek uygun bir sürekli işlev kullanmalıyım.

Answer 1

Burada kullanılacak anahtar bileşen kompaktlıktır. Böyle bir diskin olmadığını varsayalım. Bu, her biri için$\epsilon>0$, $\overline{B_{r+\epsilon}(z_0)}$ içermez $A$yani var $x\not\in A$ öyle ki $d(x,z_0)\leq r+\epsilon$. Gibi noktaların bir sırasını almak$\epsilon\to 0$bir dizi alıyoruz $(x_n)$ hiçbiri olmayan puan $A$, öyle ki $d(x_n,z_0)$ yakınsamak $r$. Bu, sınırlanmış bir dizidir$\mathbb{C}$, dolayısıyla bir sınıra yakınsayan bir alt diziye sahiptir. $x$. Sonra$d(x,z_0)=r$. Ayrıca her biri$x_n$ içinde değil $A$ ve $A$ açık, $x\not\in A$. Ama şimdi bu bir çelişki$\overline{B_r(z_0)}\subseteq A$.

Answer 2

Eğer $A=\Bbb C$İşimiz bitti. Şimdi izin ver$A\not=\Bbb C$, Böylece $A$ boş olmayan sınırı var $\partial A$. Düşünelim$\text{distance}(z_0,\partial A)=\inf\big\{||z_0-x||:x\in \partial A\big\}$. Hipotezden elimizde$0<r<\text{distance}(z_0,\partial A)$. Şimdi herhangi birini al$s$ ile $r<s<\text{distance}(z_0,\partial A)$.

Answer 3

İpucu: $A$ açık var demektir $z_1\in A\setminus\overline{B_r(z_0)}$. İzin Vermek$S:=\{|z-z_0|:z\in A\setminus\overline{B_r(z_0)}\} $. Şimdi ayarlayın$s:=\inf S$.