Alan mı $\mathbb{Q}(\pi)$ temelde eşdeğer $\mathbb{Q}$?

Question

Model teorisinde, aynı birinci dereceden cümleleri karşılıyorlarsa iki yapının temelde eşdeğer olduğunu söylüyoruz. Örneğin, dilde$\mathcal{L}=\{+,\cdot\}$, alanlar $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ ve $(\mathbb{Q}(\sqrt{2}),+,\cdot)$ temelde eşdeğer değildir çünkü $\mathcal{L}$cümle

$$\sigma: \exists y\,\exists z\,\forall x\,(x\cdot z=x \wedge y\cdot y=z+z.)$$

ikinci alanda tutar, ancak ilk alanda değil. (Temel olarak cümle, "karesi şuna eşit olan bir öğe olduğunu belirtir:$1+1$")

Ancak bunu göstermenin kolay bir yolu var mı? $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ ve $(\mathbb{Q}(\pi),+,\cdot)$ temelde eşdeğer midir (veya değildir)?

Answer 1

Her rasyonel sayı için $x$ya $x$ veya $-x$ dört karenin toplamıdır $\mathbb{Q}$. Fakat ikisi de değil$\pi$ ne de $-\pi$ dört karenin toplamıdır $\mathbb{Q}(\pi)$. Bunu görmenin hızlı bir yolu, bir otomorfizm olduğudur.$\mathbb{Q}(\pi)$ takas $\pi$ ve $-\pi$, yani $\mathbb{Q}(\pi)$ bir sipariş kabul ediyor $-\pi<0$ ve içinde başka $\pi<0$, ancak sıralı bir alanda herhangi bir kareler toplamı $\geq 0$.