Bhaskara cos (x) yaklaşımı

Question

Bildiğim kadarıyla en iyi yaklaşımı $\sin$ ve $\cos$ Bhaskara yaklaşımıdır: $$\sin(x) \simeq \frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}\qquad (0\leq x\leq\pi)$$ ve $$\cos(x) \simeq\frac{\pi ^2-4x^2}{\pi ^2+x^2}\qquad (-\frac \pi 2 \leq x\leq\frac \pi 2)$$

en iyi yaklaşım nedir $\cos(x)$ için $ -\pi\leq x\leq 0$ (normal bir işlevle)?

Answer 1

Yaklaşıklık açısından, ifadeye kaç terim dahil etmek istediğinize bağlı olarak birçok şey yapabilirsiniz. Çoğu zaman bu, Padé yaklaşımları kullanılarak yapılır.

Örneğin, sorunuz için basit $[3,2]$ Padé yaklaşımı etrafında inşa edildi $x=-\frac \pi 2$, anlıyoruz $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{7}{60} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 } {1+\frac{1}{20}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 }$$ mutlak bir hataya yol açar $0.0042$ sınırlarda.

Elbette, daha ileri gidebilir ve $[5,4]$ Padé yaklaşımı $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{53}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{551 }{166320}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+\frac{13}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{5 }{11088}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ mutlak bir hataya yol açar $3.0\times 10^{-6}$sınırlarda. Bu Taylor serisine eşdeğerdir.$O\left(\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^{11}\right)$.

Size olası iyileştirmeler hakkında bir fikir vermek için; Bunu bir düşün$P_n$ ... $[2n+1,2n]$ Padé yaklaşımı $\cos(x)$ çevreye inşaa etmek $x=-\frac{\pi }{2}$ ve normu hesapla $$\Phi_n=\int_{-\pi}^0 \big[\cos(x)-P_n\big]^2\,dx$$

$$\left( \begin{array}{cc} n & \Phi_n \\ 1 & 3.92 \times 10^{-6} \\ 2 & 1.26 \times 10^{-12}\\ 3 & 2.23 \times 10^{-20} \end{array} \right)$$

Bunların tümü sadece aşağıdaki bilgilere (fonksiyon ve türev değerler) göre yapılmıştır $x=-\frac{\pi}{2}$.

Ancak tüm aralığı kapsamaya çalışabilir ve örneğin $$\cos(x) \sim \left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1+a \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+b\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+c \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+d\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ ve elde et

$$a=\frac{-1952+672 \pi -192 \pi ^2+56 \pi ^3}{\pi ^3(\pi ^2-10)}$$ $$b=\frac{-3456+1056 \pi +768 \pi ^2-240 \pi ^3 } {\pi ^5 \left(\pi ^2-10\right) }$$ $$c=\frac{-192+72 \pi -104 \pi ^2+32 \pi ^3 } {\pi ^2 \left(\pi ^2-10\right) } $$ $$d=\frac{-4704+1504 \pi +400 \pi ^2-128 \pi ^3} {\pi ^4 \left(\pi ^2-10\right) }$$ eşit bir maksimum mutlak hata veren $5.96\times 10^{-8}$ ve eşit bir norm $2.73\times 10^{-15}$ (hangisi $461$ kat daha küçük $\Phi_2$).

Katsayıların aşağıdakilere çok yakın olduğunu fark edebilirsiniz: $P_2$ ancak bu küçük değişiklikler çok fazla fark yaratıyor.

Tüm bu tahminler, sorunuzu yanıtlamak için oluşturulmuştur.

Answer 2

Bir fonksiyon için "en iyi" yaklaşım diye bir şey yoktur, daha iyi yaklaşımlar üretmek için her zaman yapabileceğiniz küçük ince ayarlar vardır.

Bununla birlikte, sorunuza, verdiğiniz yaklaşımı fark ederek masaj yapabilirsiniz. $$-\pi\leq x\leq 0 \iff -\frac \pi2\leq x+\frac \pi2\leq \frac \pi2$$

Answer 3

İçin yaklaşım $\sin(x)$ açık $[-\pi/2, \pi/2]$ Bhaskara'nın ruhuna uyan en iyisi

$$\frac{22 \pi^2 x - 24 x^3}{\pi (7 \pi^2 + 4 x^2)}.$$

İçin kesin $\lvert x \rvert \in\{0, \pi/6, \pi/2\}$ve türevi son noktalarda sıfırdır. Sola kaydır$\pi/2$ bir yaklaşım elde etmek için $\cos(x)$ açık $[-\pi, 0]$.

Bu, maksimum mutlak hata açısından aynı derecedeki Padé'ninkinden daha iyi bir yaklaşımdır. (Remez'in algoritması daha da iyisini bulabilir. Bu açıklamanın 6. bölümüne bakın .) Aralığa göre ölçeklendirme$[-1,1]$ daha güzel görünen bir yaklaşım verir $$\frac{11 x - 3 x^3}{7 + x^2} \approx \sin \left(\tfrac{\pi}2 x\right).$$