Big Crunch zamanı

Question

Düz, madde ve kozmolojik sabiti olan bir evren için Friedmann denklemini şu şekilde yazabiliriz:

$$\frac{H^{2}}{H^{2}_{0}} = \frac{\Omega_{m,0}}{a^{3}} + (1 - \Omega_{m,0})$$

İkinci terimin olumsuz olması durumunda ($\Omega_{m,0}>1$) o zaman evrenin son kaderi, Büyük Çatlak'ta yeniden çökecek olmasıdır!

Yaparak ölçek faktörünün maksimum değerini hesaplayabileceğimi anlıyorum $H^{2}=0$ ve yukarıdaki denklemi sadece bir cebirle aşağıdaki ifadeyi elde etmek için bir ODE olarak yeniden yazabilirim:

$$ H_{0}t = \int_{0}^{a} \frac{da}{(\Omega_{m,0}/a + (1 - \Omega_{m,0})a^{2})^{1/2}}$$

kozmik zamanı ölçek faktörü ile ilişkilendiren $a$. O halde sorum şu: Big Crunch süresini nasıl hesaplayabilirim (ör. Tekrar sahip olacağımız zamanı$a=0$?

Üst limitin yukarıdaki integralin iki katı olduğunu düşündüm. $a$ sahip olduğumuz $H(t) = 0$ama benim için pek mantıklı değil. Ayrıca, Barbara Ryden'ın Kozmolojiye Giriş adlı kitabı , aradığım zamanın (denklem 5.98) olduğunu söylüyor:

$$ t_\text{crunch} = \frac{2\pi}{3H_{0}}\frac{1}{(\Omega_{m,0}-1)^{1/2}}$$

Yanlış yaklaşımı denediğimi düşündüğüm şey. Biri bana yardım edebilir mi? Yukarıdaki denklemi nasıl bulabilirim?

Answer 1

Bu integralin kapalı form çözümü var, $$H_0 t = \frac{2 \sinh^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-Ω_{m,0}}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{1-Ω_{m,0}}} = \frac{2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{Ω_{m,0}-1}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}.$$

Yeniden çökmekte olan bir evren için bu size evrimin yalnızca genişleyen yarısını verir ve arkin maksimum değerine ulaştığında sona erer. $π/2$. Toplam yaş bu nedenle$2 \frac{2 (π/2)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}/H_0$.