Binom teoremi: bölünebilirlik $n^2$

Question

Düşünmek $X = (a+b)^n-a^n-b^n$ nerede

• $a$ ve $b$ ve $a+b$ ile bölünemez $n$,
• $n>=3$ pozitif ve asal,
• $a \ne b$ ve her ikisi de 1'den büyük.

İki terimli genişlemeyle biliyoruz $X$ ile bölünebilir $n$ama nasıl çalışabiliriz $X$ ile bölünebilir $n^2$ veya diğer yetkileri $n$?

Özellikle kanıtlamakla ilgileniyorum $X$ ile bölünemez: $n^2$ama bunu nasıl kanıtlayacağımı veya çürüteceğimi bilmiyorum.

Answer 1

Julian Rosen yorumlarda anladı. Ben sadece OEIS'de ve Kevin Brown'ın olduğu bağlantılı web sitesinde neler olduğunu açıklayacağım.

Değişkenlerden birini şu şekilde eleyebilirsiniz:

$$(a+b)^n-a^n-b^n\equiv 0 \mod n^2$$

$$b^{-n}(a+b)^n-b^{-n}a^n-1\equiv 0$$

Şimdi izin ver $x\equiv ab^{-1}$

$$(x+1)^n-x^n-1\equiv 0$$

İki terimliyi genişleterek kontrol etmek kolaydır. $x\equiv y\mod n$ sonra $(x+1)^n-x^n-1\equiv (y+1)^n-y^n-1\mod n^2$yani ben sadece bakacağım $x\equiv 0,1,2\dots n-1$.

Bunun önemsiz çözümleri var $x\equiv 0,-1\mod n$.

Şimdi bunu kanıtlayacağım eğer $n\equiv 1\mod 6$ o zaman başka çözümler var. $(x+1)^n-x^n-1$ katları $x^2+x+1$. Bu, ikincinin köklerinin de birincinin kökleri olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır:

$$x^2+x+1=0\implies x=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}2$$

Bunlar birliğin kübik kökleridir, artı $x+1=\frac{1\pm \sqrt{-3}}2$birliğin altıncı köküdür. 3'ten büyük tüm asal sayılar$\pm 1 \mod 6$ kanıtlamak için yeterli $n=5,7$ ve diğer durumlar mod 6'yı düşürerek takip eder.

Denklem:

$$x^2+x+1\equiv 0\mod n$$

Ne zaman çözülebilir? $-3$ ikinci dereceden bir kalıntı moddur.

$$(2x+1)^2\equiv -3$$

Hangi sırayla ne zaman olur $n\equiv 1 \mod 6$. Dolayısıyla, çözümü olmayan tek durum$n\equiv -1$. OEIS'de listelendiği gibi , bunlardan birkaçı var , ilki 59. Yani sorunuz zor, muhtemelen bilinen bir çözümü yok ve temel yöntemlerle çözülemez.

Ayrıca, eğer $x$ denklem için bir çözümdür, öyleyse $x^{-1}$ ve $-1-x$. Bunları oluşturabilir ve bulabilirsin$-1-x^{-1}$ ve $(-1-x)^{-1}$ve bu şekilde, size en fazla 6 çözüm sunacaklarını bulana kadar. 6 almadığınız zamanlar: önemsiz çözümler$0,-1$, bir çift çözüm $x^2+x+1\equiv 0$ve üçlü $1,-2,-2^{-1}$. Morgan Rodgers bunu benim için burada kanıtlıyor . Bu son üçlü çözüm,

$$2^n\equiv 2 \mod n^2$$

Wieferich asalının tanımı budur.