Bir integralin değeri

Question

Aşağıdaki integralin değerini doğrulamam gerekiyor $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ İntegrand (çarpanı $4n(n-1)$) dahil) belirli rastgele değişkenin pdf'idir. $n\geq 3$ve bu yüzden 1 olmasını bekliyorum. Birisi bunu MATHEMATICA gibi bir bilgisayar cebir sistemine nazikçe koyabilirse, çok minnettar olurum. Herhangi bir CAS yazılımına erişimim yok.

Not: -Herhangi bir ücretsiz CAS yazılımı bilmiyorum. Biri varsa lütfen paylaşın

Answer 1

İntegral şu ​​şekilde yeniden yazılabilir: \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} Parçalara göre entegre ederek $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ Bu nedenle, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

Not : Sembolik hesaplamalar için SageMath ve WolframAlpha'yı kullanabilirsiniz . İkisi de ücretsizdir.

Answer 2

Görünüşe göre varsayımınız doğru. Mathematica sonucu verir$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ tamamlanmamış Beta işlevi açısından ve rastgele tamsayılar koymak açısından $\geq 3$ her zaman 1 verir (Mathematica'nın bunu genel bir sonuç olarak rastgele söylemesini sağlayamadım. $n$).

Answer 3

CoCalc'ı kullanabilirsiniz . Örneğin, yazın integral(x^2,x)ve alın1/3*x^3

Ayrıca sembolik parametrelere izin verir.

Giriş:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

Çıktı:

1/3*x^3+n*x