Bir Konum Denklemi

Question

Bu lokusu tanımlayan denklemi nasıl bulacağımı merak ediyorum. Kısacası, konum, en yakın noktadan aynı mesafedeki tüm noktalardır.$e^x - 1$ gibi $(0,1)$. GeoGebra'daki kurulum aynı zamanda bağlı olduğu işlevi kolayca değiştirmeme izin veriyor ve bu da hemen hemen her işlev için çok ilginç sonuçlar veriyor (düz bir çizgi için bir parabol üretir).

Answer 1

Herhangi bir noktadan uzaklık $P(x, y)$ gerekli lokusta sabit noktaya $Q(0, 1)$ tarafından verilir $$PQ^2=x^2+(y-1)^2$$ Aynı noktadan uzaklık $P(x, y)$ Bir noktaya $T$ verilen eğri üzerinde $(t, e^t-1)$ tarafından verilir $$s=PT^2=(x-t)^2+z^2$$ nerede $z=y-e^t+1$ dolayısıyla $y-1=z+e^t-2$.

Nokta $T$ en yakın $P$ ne zaman $s$ minimum wrt $t$ : $$\frac{ds}{dt}=2(x-t)(-1)+2z(-e^t)=0$$ $$x=t-ze^t$$

Gerekli lokus şu şekilde tanımlanır: $PQ^2=PT^2$ : $$x^2+(y-1)^2=(x-t)^2+z^2$$

Ortadan kaldırmak için ikame $x, y$ bir denklem bırakmak $z, t$ : $$(t-ze^t)^2+(z+e^t-2)^2=z^2e^{2t}+z^2$$ $$t^2-2tze^t+e^{2t}+4-2(ze^t-2z-2e^t)=0$$ $$z=\frac{t^2+(e^t-2)^2}{2[(t-1)e^t+2]}$$

Lokustaki noktaların koordinatları parametreler cinsinden elde edilebilir $t$ ve $z(t)$ :

$$x=t-ze^t, y=z+e^t-1$$