Bir operatörün pozitifliği

Aug 17 2020

Bir işlevi düşünün $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sınıfın $C^1$. Eğer$f(0)=0$ ve $f'(0)>0$ bazılarının olduğu açık $t_0>0$ öyle ki $f(t_0)>0$.

Şimdi eğer $f:\mathbb{R}\to \mathcal{M}^{n\times n}(\mathbb{R})$ sınıfın $C^1$, nerede $\mathcal{M}^{n\times n}$ Gerçek mi $n\times n$ matrisler, eğer $f(0)=0$ ve eğer $f'(0)$ kesinlikle pozitif tanımlanmış bir matristir, yine bir $t_0$ öyle ki $f(t_0)$ kesinlikle pozitif tanımlanmış bir matristir.

Soru şu ki, operatörler için bile doğru mu? Özellikle, izin ver$f:\mathbb{R}\to \mathcal{O}$ sınıfın $C^1$, nerede $\mathcal{O}$ ayrılabilir bir Hilbert uzayında kompakt kendinden eşlenik operatörler kümesidir $\mathcal{H}$. İzin Vermek$f(0)=0$ ve varsayalım ki $f'(0)$ kompakt bir pozitif kendinden eşlenik işleçtir, olması gerektiği doğru mu $t_0$ öyle ki $f(t_0)$ olumlu mu?

Yanıtlar

2 ArcticChar Aug 17 2020 at 04:18

Hayır. Karşı örnek: Let $H = \ell^2$ ve $M : H \to H$ tarafından verilmek

$$ M(x_1, x_2, \cdots, x_n , \cdots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \cdots, \frac{x_n}{n}, \cdots \right).$$

Sonra $M$kompakt (sonlu sıralı operatörlerin sınırları), kendiliğinden eşlenik ve pozitiftir. Sonraki izin$\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$ düzgün ve tuhaf bir işlev olacak, böylece

  • $\varphi(t) = t$ açık $[-1,1]$,
  • $|\varphi (t)|\le 1.1$
  • $\varphi$ azalıyor $[1.1, 2]$ ve
  • $ \varphi(t) = 0$ açık $[2, \infty)$.

Her biri için $n$, tanımlamak $\varphi_n (t) = \frac{1}{2^n }\varphi (2^n t)$. Tanımlamak$ M_t:=f(t)$ tarafından $$ M_t (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left(\varphi _1(t) x_1, \frac{\varphi_2(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n (t)}{n} x_n, \cdots\right).$$

Sonra $M_0 = 0$ ve her biri $M_t$kendine eşleniktir, sonlu sıradır (dolayısıyla pozitif değildir). Ayrıca,$f$ dır-dir $C^1$. Gerçekten kontrol edilebilir$$f'(t) (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left( \varphi_1'(t) x_1, \frac{\varphi_2'(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n'(t)}{n} x_n, \cdots \right).$$ Dan beri $\varphi_n'(0)=1$ hepsi için $n$, sahibiz $f'(0) = M$.