Bir sınır içinde sınır

Question

Birisi lütfen bana aşağıdakilerin mümkün olduğunu göstermek için adım adım bir prosedür gösterebilir. Bir limit içindeki bir limiti tek bir limite nasıl indireceğimi ve 'a' ve 'b' değişkenini 'c' ile değiştirmeyi çözemiyorum.

(Biri yinelenen sınırlardan bahsetti, ancak bunu tam olarak nasıl göstereceğimden emin değilim)

$$\lim_{a\to 0}\dfrac{\lim\limits_{b\to 0}\dfrac{{f(x+a+b)-2f(x+b)+f(x)}}{b}}{a}=\lim_{c\to 0}\frac{{{f(x+2c)-2f(x+c)+f(x)}}}{c^2}$$

Bu fikir, Grunwald-Letkinov türevini (https://en.wikipedia.org/wiki/GrünwaldLetnikov_derivative) ve bu adımın hem 'a' hem de 'b'nin eşzamanlı olarak yakınsadığını ve MVT tarafından gerekçelendirilebileceğini varsayarak yapıldığından bahsetmişlerdir. Mümkünse bunu açıklayabilir misin? ve bunu haklı çıkarmak için MVT'yi nasıl kullanacağım.

Answer 1

Üst payı olduğu gibi ve varsayarak yeniden yazabilirsiniz. $f$ bu durumda türetilebilir:

$\underbrace{\dfrac{f(x+a+b)-f(x+a)}b}_{\to f'(x+a)}-2\underbrace{\dfrac{f(x+b)-f(x)}b}_{\to f'(x)}+\underbrace{\dfrac{f(x+a)-f(x)}b}_{\to\infty}$

Öyleyse $f$ sabittir, son terim sizden beri farklılaşır $\lim\limits_{b\to 0}$ ilk olarak orijinal ifadede, bu yüzden bunun iyi biçimlendirilmiş bir ifade olduğunu düşünmüyorum.

Not: başvurmayı deneyebilirsiniz $f(x)=x$

Değiştirmek daha mantıklı olur $-2f(x+b)$ tarafından $-f(x+b)-f(x+a)$ ve onu karşılaştırmak $f''(x)$.