Bu canavarca ifade basitleştirilebilir mi?
$\sqrt{\left( r_d \cos\left(\frac{-4(C - X) \csc(2α)}{Z}\right) + r_p \left(\frac{2C \tan(α) - 4 (C - X) \csc(2α))}{Z}\right) \sin\left(\frac{-4 (C - X) csc(2α)}{Z}\right) - m X \tan(α) \sin\left(\frac{-4 (C - X) \csc(2α)}{Z}\right)\right)^2 + \left( r_d \sin\left(\frac{4(C - X) \csc(2α)}{Z}\right) - r_p \left(\frac{2C \tan(α) - 4 (C - X) \csc(2α))}{Z}\right) \cos\left(\frac{-4 (C - X) csc(2α)}{Z}\right) + m X \tan(α) \cos\left(\frac{-4 (C - X) \csc(2α)}{Z}\right)\right)^2}$
- $r_d = r_p + m X - m C$
- $r_p = \frac {m Z}{2}$
- $m$ olumlu
- $α$ arasında $0$ ve $\frac π 4$
- $Z$ pozitif bir tam sayıdır
- $X$ -1 ile +1 arasında
- $C$ 1 ile 1,5 arasında
Gözlerim şaşı olana kadar buna bakıyordum ama onu kırmanın bir yolunu bulamıyorum. Bir sınıf için değil, bu yüzden arayabileceğim herhangi bir kaynağım yok.
Bağlam:
Parametrik ifadelerle tanımlanan eğri üzerindeki bir noktanın yarıçapını bulmaya çalışıyorum $$x = r_d \cos(γ) + r_p \left(\frac{2C \tan(α)} Z + γ\right) \sin(γ) - m X \tan(α) \sin(γ),$$ $$y = r_d \sin(γ) - r_p \left(\frac{2C \tan(α)} Z + γ\right) \cos(γ) + m X \tan(α) \cos(γ)$$
Özellikle, nokta $γ = \frac{-4(C - X) \csc(2α)}{Z}$. Çözme içgüdüm, değeri yerine koymak ve bu sorunun konusu olan ifadeyi yaratan Pisagor teoremini kullanmaktı. Bu yarıçapı bulmanın daha iyi bir yolu varsa, denemeyi çok isterim.
Güncelleme: Temel ifadeleri basitleştirmek için, örneklerini genişletebilirim. $r_d$ ve $r_p$ ve sonra $m$ tüm üç terimden ve $\sin$ ve $\cos$ son iki terimden, ama bunu nasıl bir avantaja çevireceğimi bilemiyorum
Yanıtlar
Mümkün olan en kısa sürede basitleştirmek çoğu zaman çok daha iyidir. Bu durumda, parametreli$x$ ve $y$ belirtilen değerdeki değerler $\gamma_0 := -4(C-X)\csc(2\alpha)/Z$ oldukça güzel bir şekilde azalır:
$$\begin{align} x &=\tfrac12 mZ \left(\;\cos\gamma_0 + \gamma_0 \cos\alpha \sin(\alpha+\gamma_0)\;\right) \tag1\\[4pt] y &=\tfrac12 mZ \left(\;\sin\gamma_0 - \gamma_0 \cos\alpha \cos(\alpha+\gamma_0)\;\right) \tag2 \end{align}$$
Oradan kolayca alıyoruz $$x^2+y^2 = \tfrac14m^2Z^2\left(\;1 + \gamma_0 \sin 2 \alpha + \gamma_0^2\cos^2\alpha\;\right) \tag3$$ (Elverişli olarak, yok $\gamma$trigonometri fonksiyonlarının içindedir.)
İstersen genişletebilirsin $1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ ve $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, yeniden gruplandır ve yaz $$x^2+y^2 = \tfrac14m^2Z^2\left(\;\left(\gamma_0\cos\alpha+\sin\alpha\right)^2+\cos^2\alpha\;\right) \tag4$$
Bu noktada genişleyen $\gamma_0$ açıkça $-4(C-X)\csc(2\alpha)/Z$ pek hoş bir şey vermiyor gibi görünüyor, bu yüzden bunu okuyucuya bırakacağım. $\square$
Biraz prequel olarak, sadece yerine $r_d\to r_p+mX-mC$ve $r_p\to mZ/2$ OP'nin parametrik denklemlerine basitleştirme sağlar $$\begin{align} x &= \tfrac12 mZ \left(\; \cos\gamma + \gamma \sin\gamma +\gamma_0 \sin\alpha\cos(\alpha+\gamma) \;\right) \tag{0.1}\\[4pt] y &= \tfrac12 mZ \left(\; \sin\gamma - \gamma \cos\gamma +\gamma_0 \sin\alpha \sin(\alpha+\gamma) \;\right) \tag{0.2} \end{align}$$ ile $\gamma_0$yukarıdaki gibi. Bunlardan alırız$$x^2 + y^2 = \tfrac14 m^2Z^2 \left(\; 1 + \gamma_0 \sin2\alpha + \gamma^2\cos^2\alpha + (\gamma-\gamma_0)^2 \sin^2\alpha \;\right) \tag{0.3}$$ Ne zaman $\gamma=\gamma_0$bizde var $(0.1)$, $(0.2)$, $(0.3)$ küçültmek $(1)$, $(2)$, $(3)$.