Bu miktarın adı nedir?

Question

İki vektör verildiğinde $X$ ve $Y$ (uzunluk $n$, rastgele değişkenlerden örneklenmiş), aşağıdaki miktarın adı nedir:

$$ \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2 $$

İki vektör arasındaki varyansı ölçmek için formül 'buldum' ve formülün ya saçma olduğunu ya da önemsizliği göz önüne alındığında - iyi bilinen bir miktar olduğunu tahmin ediyorum. Biliyorum aradaki kovaryans değil$X$ ve $Y$ama onun yerine ne var?

Düzenleme: tabii ki, örneğin verilerle yapılan tahminler bağlamında $X$ ve tahmin $Y$Bu, ortalama kare hataya karşılık gelir (normalleştirme sabiti hariç) $\frac{1}{n}$). İstatistik bağlamında bir adı (ve anlamı) olup olmadığını merak ediyorum. Stephan Kolassa'nın yorumuna bakın

Answer 1

Bu, iki değer kümesi arasındaki kare dağılımın bir ölçüsüdür, ancak eşleştirilmiş değerler arasında değildir. Bir adı olduğundan şüpheliyim.

Nitekim aynı sayıda sahip olmanıza gerek yoktur. $x$ ve $y$ değerler ve $\frac1n$ varyans hesaplaması diyebilirsiniz:

$$\frac{1}{mn}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2\qquad \\\qquad\qquad= (\bar x - \bar y)^2 + \widehat{\text{Var}}(x) +\widehat{\text{Var}}(y)$$

böylece iki kümenin merkezleri arasındaki kare mesafenin artı ayrı kümelerin kare dağılımlarının bir kombinasyonu.