Çöz $n < e^{6 \sqrt{n}}$

Question

Hangi değerleri için bulun $n \in \mathbb{N}$ bunu tutar $$n < e^{6 \sqrt{n}}.$$

Eşitsizliği kullanmaya çalıştım $(1 + x) \leq e^x$, ancak bundan sadece eşitsizliğin geçerli olduğunu bulabilirim $n > 36$. Ama almam gerek$n$ olabildiğince küçük.

Ayrıca indüksiyonu denedim $n$, ama indüksiyon adımında sıkıştım. Özellikle bunu gösterirken$e^{6\sqrt{n}} + 1 \leq e^{6\sqrt{n+1}}$.

Herhangi bir yardım ve öneriye minnettarım.

Answer 1

Sahibiz $e^{3x} > 3x \ge x$ için $x\ge 0$. Bunu uygula$x = \sqrt{n}$ almak $e^{3\sqrt{n}} > \sqrt{n}$. Her iki tarafı da kare ve sahipsin$e^{6\sqrt{n}} > n$ hepsi için $n\ge 0$.

Answer 2

(User2661923'ün ipucuna göre yukarıdaki yorumlara bakın.)

Ben kurdum $f(x) = e^{6\sqrt{x}} - x$. İlk türevi$f(x)$ dır-dir $$f'(x) = 3 \frac{e^{6\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - 1.$$

Bunu not ediyoruz $f(1) = e^6 - 1 > 0$. Üstelik bunu kontrol etmek zor değil$f'(x) > 0$ için $x \in [1, +\infty)$. Böylece$f$ artıyor $[1, +\infty)$ ve $f(1) > 0$. Bu nedenle$f(x) > 0$ hepsi için $x \in [1, +\infty)$. İma eder ki$x < e^{6\sqrt{x}}.$

Ve sorum kolayca takip ediyor.

Answer 3

Eşitsizlik her pozitif için geçerli $x$, o kadar etkili ki bir kanıt aşırı gözüküyor :-)

(Dikkat edin $0<e^{6\sqrt0}$ ve $1<\dfrac6{2\sqrt x}e^{6\sqrt x}$.)

---

Veya Taylor kullanarak,

$$n<1+6\sqrt n+18n+\cdots$$