Denklemin Toplamını Bul

Question

Görevimde çözmem gereken bazı sorular var ama şu soruya takılı kaldım.

Soru: Aşağıdaki toplamı bulun:$\frac{1}{22–1} + \frac{1}{42 –1} + \frac{1}{62 –1} + \dots + \frac{1}{202–1}.$

Birçok model bulmaya çalıştım ama çözemedim. Farkın olduğunu bildiğim gibi$20$ her birinde, ama kareyi bulmanın ve kombinasyon yapmanın bir yolu yok, bu yüzden tamamen ona bağlı kaldım.

Biri bana bu konuda rehberlik edebilir mi?

Answer 1

Bir yaklaşım elde etmek için yazın$$S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{20 k+21}=\frac 1 {20}\sum_{k=0}^n \frac{1}{ k+\frac{21}{20}}\sim \frac 1 {20}\sum_{k=0}^n \frac{1}{ k+1}=\frac 1 {20}H_{n+1}$$ İçin $n=9$bu verirdi $$S_{9}=\frac 1 {20}\times\frac{7381}{2520}=\frac{7381}{50400}\approx 0.146448$$ onun yerine $$S_{9}=\frac{32423431590702190}{227186523709446609}\approx 0.142717$$

Answer 2

Bunu not et $${2\over n^2-1}={1\over n-1}-{1\over n+1}$$ Yani $${2\over2^2-1}+{2\over4^2-1}+\cdots+{2\over20^2-1}=1-{1\over3}+{1\over3}-{1\over5}+\cdots+{1\over19}-{1\over21}=1-{1\over21}={20\over21}$$ ve bitirdik (eğer OP'nin sormak istediği soruyu doğru bir şekilde tahmin ettiysem).