Dır-dir $N$ alt grubu $H$?

Question

İzin Vermek $N$ sonlu, normal bir alt grup olmak $G$, ve $H$ alt grubu olmak $G$ öyle ki $[G:H]$sonludur. Bunu göstermek için görevlendirildik.$[G:H]$ ve $|N|$ nispeten asal, o zaman $N\leq H$.

Başlangıçta, yukarıda sahip olduğum her grup-alt grup ilişkisi için Lagrange Teoremini kullanmayı düşündüm, ancak şunu fark ettim: $|G|$ ve $|H|$sonsuz düzen grupları olabilir. Sorun yaşıyorum ve başlangıçta düşündüğüm şeyin doğru olup olmadığını bilmiyorum. Bana nasıl başlayacağıma dair ipuçları ver, gerisini ben hallederim. Hâlâ kendi başıma kanıtlamak istiyorum. Çok teşekkür ederim.

Answer 1

Dan beri $N$ normaldir, $HN$ alt grubudur $G$, dan beri $HN/N \cong H/(H \cap N)$, sahibiz $|HN:H|=|N:H \cap N|$. Bu son endeksler sonludur ve bölünür$|G:H|$ ve $|N|$. Bu son sayılar görece asal olduğundan, bunu takip eder$|HN:H|=1=|N: H \cap N|$. Bu nedenle$HN=H$eşdeğer olan $N \subseteq H$.