Dır-dir $Y - E[Y|X]$ bağımsız $X$?

Question

Herhangi iki rastgele değişken için $X$ ve $Y$, dır-dir $Y - E[Y|X]$ bağımsız $X$? Sezgisel olarak, koşullamanın tüm yönlerini içermesi gerektiğinden, durumun böyle olması gerektiğini düşünüyorum.$X$ karışmış $Y$.

Answer 1

Varsayalım $Y \sim U(-1,1)$ ve $X=Y^2$ sonra $E[Y \mid X] \equiv 0$, fakat $Y$ ve $X$ kendileri bağımsız değildir.

Doğru olan şu ki $X$ ve $Y-E[Y \mid X]$olan ilintisiz .

Bu arada, kesinlikle artan herhangi bir işlevi göz önünde bulundurarak, bunun gibi geniş bir örnek ailesi pişirilebilir $f : [0,\infty) \to \mathbb{R}$ (otomatik olarak ölçülebilir olan), esasen herhangi $Y$ simetrik dağılım ile $0$, ve $X=f(|Y|)$. ("Esasen" kelimesini kullanıyorum çünkü elbette ki$E[Y]$ var.)

Answer 2

Bunlar her zaman ilişkisizdir, gerçekten

$$ Cov(X,Y - \mathbb E[Y|X]) = Cov(X,Y) - Cov(X,\mathbb E[Y|X]) $$

Beklenti olarak yeniden yazmak ve kule mülkünü kullanmak ve $X$ ölçülebilirliği $X$, anlıyoruz $$Cov(X,Y - \mathbb E[Y|X])= \mathbb E[XY] - \mathbb E[X]\mathbb E[Y] - \mathbb E[X\mathbb E[Y|X]] + \mathbb E[X]\mathbb E[\mathbb E[Y|X]]=0$$

Ama alıyor $X \sim \mathcal N(0,1)$, $\varepsilon = \pm 1$ olasılıkla $\frac{1}{2}$ dan bağımsız $X$ ve $Y=\varepsilon X$, alacaksınız $\mathbb E[Y|X] = 0$ neredeyse kesin, ama $X$ ve $Y$ bağımsız değil (düşünün $X \in (0,1) , Y \in (1,2)$)