Doğrusal dönüşüm için bir formül bulun [kapalı]

Question

Doğrusal dönüşüm formülüne bir örnek bulun $\varphi$ Böylece:

$$\ker\varphi = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\},$$ $$\operatorname{im}\varphi = \operatorname{span}((2,3,1))$$

Böyle bir soruna nasıl yaklaşılır? En standart yol takdir edilmektedir.

Answer 1

$\varphi$ doğrusal bir dönüşümdür $\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$yani matris $A$ temsil eden $\varphi$ (standart esasa göre) $3$ tarafından $4$. Şimdi eğer$$\ker\varphi=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-y+6z+2t=0\}$$ o zaman çekirdeğindeki her şey $A$ ortogonaldir $(1,-1,6,2)$öyleyse hadi ayarlayalım $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ ?&?&?&?\\?&?&?&?\end{bmatrix}.$$Kalan girişleri belirtmediğimiz için henüz işimiz bitmedi. Ama bu zor değil çünkü biliyoruz$$\text{im}\varphi=\text{span}((2,3,1))$$ bu da tüm sütun vektörlerinin skaler katları olduğu anlamına gelir $(2,3,1)$. Örneğin, ilk sütun yalnızca$1/2$ zamanlar $(2,3,1)$hangi verir $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&?&?&?\\1/2&?&?&?\end{bmatrix}.$$ Bu mantığa devam ederek, son üç sütunu benzer şekilde doldurarak bize $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&-3/2&9&3\\1/2&-1/2&3&1\end{bmatrix}.$$ Şimdi bitirdik.

Answer 2

Bunu gözlemleyin $\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\}$ formun tüm vektörlerinin kümesidir $$(y-6z-2t,y,z,t) = y(1,1,0,0) + z(-6,0,1,0) + t(-2,0,0,1)$$ nerede $y,z$ ve $t$tüm gerçek sayıların üzerinden geçer. Öyleyse, doğrusal bir harita seçin$\varphi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$ öyle ki $$\varphi(1,1,0,0) = \varphi(-6,0,1,0) = \varphi(-2,0,0,1) = 0$$ ve $\varphi(v) = (2,3,1)$ bazı $v \in \mathbb R^4$ hangi aralığında değil $$\{(1,1,0,0),(-6,0,1,0),(-2,0,0,1)\}.$$

Answer 3

Aşağıdaki matris, böyle birini açıklar: $\begin{pmatrix} 2&-2&12&4\\3&-3&18&6\\1&-1&6&2\end{pmatrix}$.