Dynkin pi-system lemma

Question

Gerçekten uğraşmaya çalıştığım oldukça önemsiz bir sorum var ve basit bir şeyi kaçırdığım hissine kapılıyorum, bu yüzden umarım bu sorunu burada çözebilirim.

Lemma şöyle der: Eğer G bir $\pi$-sistem, ardından $d$-sistem (dynkin-system) G tarafından üretilen $\sigma$-field tarafından oluşturulan G.

Elimdeki ispatta aşağıdaki seti oluşturuyoruz: $D_{1}$ = {B $\in$ $d(G)$ : $\forall$ C $\in$ G, B $\cap$ C $\in$ $d(G)$ }

ve bunu gösteriyoruz $D_{1}$ aslında bir $d$-sistem. İspatın geri kalanından memnunum ama neden bütün setin$\Omega \in D_{1}$?

Bir dynkin sisteminin tanımına göre, sahip olmamız gerektiğini biliyorum $\Omega \in d(G)$ yani sette $D_{1}$ Element alabilirim $B = \Omega \in d(G)$ ama C kümesinin neden içermesi gerektiğini çıkaramıyorum $\Omega$ (böylece kesişme noktası $\Omega \cap \Omega = \Omega \in d(G)$) sonuçta ilk bölümü gösterecek olan $D_{1}$ aslında bir d-sistemidir.

Yukarıdakilerle ilgili herhangi bir yardım çok takdir edilecektir!

Answer 1

Bu tanımlar gerçekten kafa karıştırıcıdır.
Dikkat edin, tanım gereği$G\subseteq d(G)$ Çünkü $d(G)$olan en küçük Dynkin sistemi ihtiva eden $G.$ Dikkat edin, eğer $x\in G,$ sonra $x\in d(G).$ Yani, $\Omega \in d(G)$ tanım gereği ve eğer $C\in G$ sonra $C\cap \Omega =C\in d(G)$ yani $\Omega \in D_1.$