Ekonomide Aşırı Değer Teoremi

Question

Uygulamalı bir bağlamda bir çözümün (maksimum) varlığını kanıtlama konusundaki bazı düşünceleri takdir eder.

Amaç işlevinin faydayı maksimize etmek olduğunu varsayalım:

$\max\Sigma\beta U(C_t)$

Kaynaklarda bazı kısıtlamalara tabi olarak şunu söyleyin:

$\\C_t+K_{t+1} = F_F(K_F,E_F,S_t)$

Kısıtlamanın, mevcut tüketim dahil, ekonominin kaynak kısıtlaması olduğu durumlarda $C_t$ ve yatırım olanakları $K_{t+1}$, üretim işlevine eşit olarak ayarlayın $F_F$, sermaye ile ilgili argümanları içeren $K_t$enerji $E_t$ ve emisyon stoğu $S_t$ (yani emisyonlar üretim maliyetlerini etkiler).

Uç değer teoremi, 'boş olmayan kompakt bir küme boyunca sürekli bir fonksiyonun bir maksimuma (sırasıyla min.) Sahip olacağını' belirtir.

Bu bağlamda, benim sorularım, uygulanabilir bir çözüm seti / kompakt set olmasını sağlamak için gerekenler nelerdir?

• değişkenlerin olumsuz olmaması?
• değişkenler üzerindeki terminal koşulları (yani hepsi gelecekte tükenecek)?
• Kısıtlamanın bağlayıcı olması / eşitsizlik olmaması da önemli mi?

Bazı düşünceleri kesinlikle takdir ederdim.

Answer 1

Weierstrass'ın aşırı değer teoremini kullanarak bu tür optimal planların varlığını ispatlayabiliriz, ancak bu biraz ileri matematik gerektirir.

İşte modelin enerji ve emisyon içermeyen oyuncak versiyonu. Hem anlık fayda fonksiyonları$u:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ ve üretim fonksiyonu $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$sürekli, azalmayan ve içbükey olduğu varsayılır. Dahası,$u$sınırlı olduğu varsayılır (!). İlk sermaye stoku var$k_1\geq 0$. Uygulanabilir tüketim ve üretim planları alanı şu şekilde tanımlanır:$$F=\big\{(c_1,k_1,c_2,k_2,\ldots)\mid 0\leq k_{t+1}\leq f(k_t-c_t)\}, c_t\geq 0\big\}.$$ Bu küme, kısaltılmış bir alt kümesidir $\mathbb{R}^\infty$ürün topolojisi ile donatılmıştır . Yardımcı program işlevi$U:F\to\mathbb{R}$ veren $$U(c_1,k_1,c_2,k_2,\ldots)=\sum_{t=1}^\infty \beta^t u(c_t)$$ürün topolojisinde iyi tanımlanmış ve süreklidir. Yani optimal bir plan var.

Le Van ve Dana tarafından yazılan "Ekonomide Dinamik Programlama" kitabında bu satırlar boyunca en uygun planların varlığının daha genel bir kanıtını bulabilirsiniz.

Answer 2

Şu anda, bu soruyu cevaplamak için daha fazla bilgiye ihtiyacım olacak. (Eksik detaylar bir ekonomist için açık olabilir, benim geçmişim uygulamalı matematikte.)

Uç değer teoremi (örneğin, Rudin'in Matematiksel Analiz İlkeleri Teorem 4.16 )$f$ kompakt bir metrik uzayda sürekli gerçek bir fonksiyondur, daha sonra kompakt bir alt küme için $M$, sonra üstün ve sonsuz $f$ içinde bir noktada (S) elde edilir $M$.

Akılda tutulması gereken örnekler.

• Kompakt kümeler sonsuz değildir. İşlev$f(x) = 1 - \frac{1}{x}$ sette üstünlüğünü elde edemiyor $x \geq 1$.
• Bu sadece ve sadece şart değildir. Örneğin$f(x) = x^2$sonsuza kadar ulaşır $(-1,1)$, set kompakt olmasa bile.

Soru, matematiksel sistem için tüm kısıtlamaları belirtmiyor. Teoremi uygulamak istiyorsa, önerebileceğim tek şey aşağıdaki noktalar.

• Zaman ufku sonlu olmalıdır, aksi takdirde uygulanabilir çözüm kümesi kompakt olmayacaktır (eğer boş değilse).
• Her zaman noktasında, o zaman noktasındaki uygulanabilir değerlerin kompakt olduğunu göstermek gerekir. Doğrusal kısıtlamalarımız varsa (bütçe kısıtlamaları), bunun için değişkenler üzerinde olumsuz olmayan bir koşul yeterli olabilir.
• Kısıtlamalar $F_F$ya eşitliğe sahip olmalı ya da katı olmayan eşitsizlikler olmalıdır. Katı bir eşitsizlik diskalifiye edici olabilir (bağlayıcı olmasa sorun olmazdı.)
• Sadece uygulanabilir setin sınırlı bir sette bulunduğunu ve boş olmadığını göstermek gerekli olabilir (örneğin bir çözüm bulun).
• Fayda işlevinin sürekliliği basit olmalıdır.