En az bölüm seti

Question

İzin Vermek $A\neq \varnothing$ ve şununla belirt $\operatorname{Part}(A)$ bölümler kümesi $A$. İçin$S,S' \in\operatorname{Part}(A),$ ayarladık $$ S\leq S' :\!\!\iff \forall C \in S: \exists C'\in S': C\subseteq C'. $$

İzin Vermek $T\subseteq \operatorname{Part}(A)$. Olduğunu göstermektedir$T$ bir yeterliliğe sahip $\leq$.

---

Aslında bunu göstermek isterdim $$ \inf T = \left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : \forall S \in T, C_S\in S\right\}. $$

Seçim Aksiyomunu kullanmadan bunu yazabilir miyim?

Değilse, varlığını kanıtlamanın başka yolu nedir? $\inf T$, eğer varsa?

Answer 1

ÇİZİM: Her biri için $S\in\operatorname{Part}(A)$ ve $a\in A$ İzin Vermek $[a]_S$ parçası olmak $S$ içeren $a$. Bunu gözlemleyin$S\le S'$ iff $[a]_S\subseteq[a]_{S'}$ her biri için $a\in A$. Verilen$T\subseteq\operatorname{Part}(A)$, her biri için $a\in A$ İzin Vermek $C_a=\bigcap_{S\in T}[a]_S$ve izin ver $C=\{C_a:a\in A\}$.

• Olduğunu göstermektedir $C\in\operatorname{Part}(A)$. Açık ki$\bigcup C=A$, yani şunu göstermelisin: $a,b\in A$, ve $C_a\ne C_b$, sonra $C_a\cap C_b=\varnothing$.

Açıkça $C_a\subseteq[a]_S$ her biri için $S\in T$, yani bu noktada şu sonuca varabilirsiniz: $C\le S$ her biri için $S\in T$.

• O zaman şunu göster: $L$ alt sınırdır $T$, sonra $L\le C$. Bunu şunu göstererek yapabilirsiniz:$L$ alt sınırdır $T$, o zaman doğru olmalı $[a]_L\subseteq C_a$ her biri için $a\in A$.

Bunların hiçbiri seçim aksiyomunu gerektirmez.

Answer 2

İzin Vermek $X=\left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : C_S\in S\right\}.$ Bunu gözlemleyin $X\in\operatorname{Part}(A)$.

Her şeyden önce şunu gösteriyoruz $X\le S$, hepsi için $S\in T$. İzin Vermek$L\in X$, sonra $L=\bigcap_{S\in T} C_S$, ile $C_S\in S$. Açıkçası,$L\subseteq C_S$ hepsi için $S\in T$, bu şu demek oluyor $X\le S$ hepsi için $S\in T$. Yani$X$ bir alt sınırdır.

Şimdi bunu gösteriyoruz $X$ en büyük alt sınırdır, yani herkes için $Y\in\operatorname{Part}(A)$ öyle ki $Y\le S$ hepsi için $S\in T$, $Y\le X$. Varsayalım$Y$ böyle bir unsurdur ve izin ver $M\in Y$. Şimdi, çünkü$Y\le S$, hepsi için $S\in T$, sahibiz $M\subseteq C_S$, bazı $C_S\in S$, hepsi için $S\in T$. Açıkça$M\subseteq\bigcap_{S\in T}C_S$, ve $\bigcap_{S\in T}C_S\in X$. Yani$Y\le X$, ve $X$ sonsuzdur $T\subseteq\operatorname{Part}(A)$.