Entegrasyon özelliği

Question

İzin Vermek $T>0$sabit. İzin Vermek$f,g : [0,T] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ farklılaştırılabilir işlevler öyle ki bazıları için $c>1$, $$f(x) \geq c, \; \forall \; x \in [0,T] .$$

bunu biliyorum $f\cdot g$ ayrıca entegre edilebilir.

Soru. Bu doğru mu$$\int_{0}^T c \cdot g(x) \; dx \leq \int_{0}^T f(x) \cdot g(x) \; dx?$$

Bunu ispatlamak için parçalara göre entegrasyon uygulamayı düşündüm, ancak hiçbir sonuca varamadım.

Answer 1

Bu yanlış. $f(x)=c+1$ ve $g(x)=-1$ bir karşı örnek verir.

Ancak, bizde de varsa $g(x) \geq 0$ sonra $f(x)g(x)-cg(x) \geq 0$ yani $\int_0^{T} [f(x)g(x)-cg(x)] \geq 0$ hangi verir $\int_0^{T} f(x)g(x) \geq c \int_0^{T} f(x)dx$.