Gram matris diferansiyeli

Question

Matris değerli işleve sahibim $M=AXX^\top A^\top$ve türevinin her bir unsuruna göre bir ifade arıyorum. $X$. Buraya$A$ dır-dir $n\times n$ ve $X$ dır-dir $n\times m$ ile $m\leq n$

Bu yüzden formda bir şey arıyorum $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}} = D^{ij}$ ile $D^{ij}_{kl} = \frac{\partial M_{kl}}{\partial X_{ij}}$.

Matrix Cookbook'u araştırırken, bunu veya yardımcı olabilecek gibi görünen daha genel ifadeleri bulamadım.

Bulabildiğim en yakın kimlik:$$\frac{\partial}{\partial X} b^\top X^\top X c = X (bc^\top + cb^\top)$$ nerede $b$ ve $c$vektörlerdir. Bunun çözümü içerebileceğini düşünüyorum, ancak onu nasıl genelleyeceğime emin değilim.

Answer 1

Türevi hesaplayabiliriz $\frac{dM}{dX}$ yönlü bir türev olarak: \begin{align*} \frac{dM}{dX}(Y) &= \lim_{t \to 0} \frac{M(X + tY) - M(X)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} \, . \end{align*} Payı sadeleştirerek buluyoruz \begin{align*} A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top &= A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= A (X X^\top + tY X^\top + tXY^\top + t^2 Y Y^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top \, . \end{align*} Böylece \begin{align*} \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} &= \lim_{t \to 0} \frac{tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top}{t}\\ &= \lim_{t \to 0} A(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t A Y Y^\top A^\top\\ &= A(Y X^\top + XY^\top)A^\top \, . \end{align*}

Yorumlarda belirtildiği gibi, kısmi $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}}$ daha sonra ikame edilerek bulunabilir $Y = E_{ij}$, bir matris $1$ içinde $i,j$başka yerlerde giriş ve sıfırlar. Yani\begin{align*} \frac{\partial M}{\partial X_{ij}} &= \frac{dM}{dX}(E_{ij}) = A(E_{ij} X^\top + XE_{ij}^\top)A^\top = A(E_{ij} X^\top + X E_{ji})A^\top \, . \end{align*}