Grelling Paradoksunun önemini anlamada zorluk.

Aug 17 2020

Arka plan: Ben bir matematik çaylağıyım, henüz üniversiteye kaydolmadım. Giriş bölümünde bu paradoksa rastladığımda, Mendelson'ın Mathematical Logic'e Giriş'ini rastgele okumaya başladım :

Grelling Paradoksu: Sıfat tarafından gösterilen özellik sıfatın kendisi için de geçerliyse, bir sıfata otolojik denir . Sıfat tarafından gösterilen özellik sıfatın kendisi için geçerli değilse, bir sıfat heterolojik olarak adlandırılır . Örneğin, 'çok heceli' ve 'İngilizce' otolojiktir, oysa 'tek heceli' ve 'Fransızca' heterolojiktir. 'Heterolojik' sıfatını ele alalım. Eğer 'heterolojik' heterolojik ise, o zaman heterolojik değildir. Eğer 'heterolojik' heterolojik değilse, o zaman heterolojiktir. Her iki durumda da, heterolojik hem heterolojiktir hem de heterolojik değildir.

Aşağıdakileri anlamak istiyorum:

  1. Bu paradokstaki mantık hatasının kaynağı nedir? Eğer bir küme formüle edersem$A$tüm sıfatların ve alt kümelerin$A_a$ve$A_h$Sırasıyla otolojik ve heterolojik sıfatlara karşılık gelen, o zaman durum şu olabilir:$\text{(heterological)}\in A-(A_a\cup A_h)$, yani, iki kümenin hiçbirine ait değildir (eğer$A_a\cap A_h=\emptyset$ve$A_a\cup A_h=A$).
  2. Daha hafif bir not olarak, bu paradoksun matematiksel önemini ve bunun modern küme teorilerinde nasıl ele alındığını bilmek istiyorum.

Cevap(lar)ın çok soyut olabileceğini anlasam da, lütfen mümkünse gerekli teknik açıklamayla birlikte daha basit bir analoji ekleyin.

Yanıtlar

4 NoahSchweber Aug 17 2020 at 20:45

Eğer$A, A_a,$ve$A_h$aslında "anlamlı" - aşağıda bununla ilgili daha fazlası - o zaman açıkça anladık$A_a$ve$A_h$bölme$A$:$A_h$olarak tanımlanır$A\setminus A_a$. Yani teklifiniz işe yaramıyor.

Düzeltme şu ki$A_a$ve$A_h$aslında göründüklerinden daha karmaşıktır. Yalnızca "heterolojik" sıfatı$A$. Ancak bunun olmadığı ortaya çıktı: temelde, kalıtsallığı tanımlamak için bir doğruluk yüklemi kullanmamız gerekiyor.$A$ve bizde bunlardan biri yok$A$kendisi .


İşte paradoksu iş başında görmenin bir yolu.

İzin vermek$\ulcorner\cdot\urcorner$favori Gödel numaralandırma fonksiyonunuz olun ve izin verin$Form$aritmetik dilindeki tüm birinci dereceden formüllerin kümesi olsun. Basit olması için, " yazalım$\mathbb{N}$" yapı için$(\mathbb{N};+,\times,0,1,<)$. Daha sonra set$$X=\{\ulcorner\varphi\urcorner: \mathbb{N}\models\neg\varphi(\underline{\ulcorner\varphi\urcorner})\},$$versiyonu$A_h$aritmetiğin birinci dereceden formülleri için, birinci dereceden bir aritmetiğin formülü ile tanımlanamaz: eğer$X$bazı formüllerle tanımlandı$\theta$birinci dereceden aritmetiğin, yani elimizde olsaydı$$X=\{n: \mathbb{N}\models\theta(\underline{n})\}$$bazı formüller için$\theta$birinci dereceden aritmetiğin, olup olmadığını dikkate alarak bir çelişki elde ederiz.$\mathbb{N}\models\theta(\ulcorner\theta\urcorner)$.

Daha genel olarak, yukarıdaki belirli ayarı biraz mantığımız olan herhangi bir ayara genelleyebiliriz.$\mathcal{L}$, bazı yapı$\mathfrak{A}$ve bazı uygun "kodlama" mekanizması$\mathcal{L}$-formüller$\mathfrak{A}$. Ayrıntıları doğru bulmak biraz düşünmeyi gerektirir, ancak asıl mesele şu ki, Grelling'in paradoksu, önleyemeyeceğimiz temel bir "yükseltme" olgusunu gösteriyor: Belirli bir mantık/yapı/kodlama sistemi için Grelling seti, bu yapıda şu şekilde tanımlanamaz: bu mantığın formülü.

(Dikkat$X$aslında daha geniş bağlamlarda tanımlanabilir : örneğin, şu şekilde tanımlanabilir:$\mathbb{N}$ikinci dereceden bir mantık formülüyle ve kümeler evreninde birinci dereceden bir formülle tanımlanabilir .$\mathbb{N}$çok küçük bir parça oluşturur.)