Her sınırlı operatör bir $C_0$-semigroup?
İzin Vermek $X$ Banach alanı olun ve $B \in \mathcal{B}(X)$ sınırlanmış bir doğrusal operatör olmak $X$. Mutlaka var mı$C_0$-semigroup $T$ öyle ki $B = T(t)$ bazı $t$? Kaçırdığım bariz bir şey olabilir, ancak bu soruna yaklaşmanın iyi bir yolu olduğundan emin değilim. Bana göre en bariz fikir, sınırlı operatörler için bir logaritma uygulamanıza izin veren bir tür işlevsel hesap kullanmak ve umarım istenen yarı grup için (zorunlu olarak sınırlı olmayan) bir üreteçle sonuçlanır. Yine de böyle bir işlevsel analizden haberdar değilim. Ayrıca kimlik haritasından şu noktaya kadar önemsiz bir "doğal üstel ilerleme" düşünemiyorum.$B$. Karşı örneklere gelince, belirli davranışları zorlayan birkaç teorem biliyorum.$C_0$-semigruplar. Denenmesi gereken bariz bir tanesi$0$Şebeke. En azından$X = C_0[0,1)$ancak, çeviri yarı grubu üstelsıfırdır. Bu bir ev ödevi sorunu ya da başka bir şey değil, sadece merak ettiğim bir şey.
Yanıtlar
Basit bir karşı örnek:
Karşı örnek almanın çok kolay bir yolu, herhangi bir sonlu boyutlu uzayı düşünmektir. $X \not= \{0\}$. Sonra her$C_0$-semigroup bir matris üstel fonksiyon tarafından verilir ve bu nedenle, bir $C_0$-semigroup mutlaka tersine çevrilebilir.
Bu yüzden sadece al $B$ sonlu boyutlu bir uzayda tersinmez herhangi bir operatör olmak.
Soruya genel bir referans:
Tanja Eisner tarafından yazılan bu makale ( arXiv'e bağlantı ), belirli bir operatörün bir$C_0$-semigroup.
Eğer $A$ sınırlı bir $C_0$ yarı grup $T(t)$, sonra spektrumu $A$ sol taraftaki kapalı düzlemde yatmalıdır $\Re\lambda > 0$ çünkü çözülmesi $A$ aşağıdakiler tarafından verilmektedir $\Re\lambda > 0$: $$ \int_0^{\infty}e^{-\lambda t}T(t)xdt=\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}e^{tA}xdt=e^{t(A-\lambda I)}(A-\lambda I)^{-1}x|_{t=0}^{\infty}=(\lambda I-A)^{-1}x. $$ Açıkçası bu sezgisel bir argümandır, ancak sonuç herkes için doğrudur $\Re\lambda >0$. Ayrıca, eğer$M$ tek tip bir normdur $T$, sonra $$ \|(\lambda I-A)^{-1}\| \le \int_0^{\infty}e^{-\Re\lambda t}dtM\|x\|=\frac{M}{\Re\lambda}\|x\|,\;\;\; \Re\lambda > 0. $$ Yani sınırlı bir $C_0$yarıgrup, genel operatörler için geçerli olmayan bir çözümleyiciye sahiptir. Bu tür bir tahmin, bir jeneratör bulundurmayı engeller.$A$bu, örneğin üstelsıfırdır. Nedenini görmek için varsayalım$A^n=0$ bazı $n > 1$. O zaman aşağıdakiler, yukarıda verilen gerekli tahmini karşılayamaz:$$ (\lambda I-A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}(I-\frac{1}{\lambda}A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\left(I+\frac{1}{\lambda}A + \frac{1}{\lambda^2} A^2 + \cdots+\frac{1}{\lambda^{n-1}}A^{n-1}\right). $$ Aynı şekilde, $A$ herhangi bir vektör olamaz $x\ne 0$ alanında $A$ hangisi için $A^nx=0$. Öyleyse, çözücü tahmini için$A$zararsız görünebilir, değil. Nilpotent vektörleri genellikle operatörlerin tüm pozitif köklere sahip olmasını engeller; ancak eğer$\lambda > 0$, sonra tüm pozitif güçleri $(\lambda I-A)$ bir $C_0$yarıgrup, fonksiyonel analiz aracılığıyla. Nedenini görmek için şunu unutmayın$$ \int_0^{\infty}t^{-1+r}e^{-t}dt = \Gamma(r),\;\; r > 0. $$ Değişken değişikliği ile $s > 0$, $$ \int_0^{\infty}(st)^{-1+r}e^{-st}d(st) = s^{r}\int_0^{\infty}u^{-1+r}e^{-u}du = s^{r}\Gamma(r) $$ Bu şekilde, en azından yoğun bir alanda aşağıdakiler tanımlanabilir: $$ A^r = \frac{1}{\Gamma(r)}\int_0^{\infty}u^{-1+r}e^{-u}T(u)du $$ Bunu genel bir üstelsıfır operatörle yapamazsınız $A$. Jeneratörleri$C_0$ yarıgruplar, Laplace dönüşümünden türetilen ve dönüşümün ilk olarak icat edildiği zaman evrim sistemleriyle ilgili olan fonksiyonel bir hesapla kullanılabilir.