İç ürünün genelliği

Question

Bir vektör uzayında bir iç çarpım $V$ (alan üzerinde $F$ ) bir işlevdir $V \times V \to F$, her bir vektör çiftiyle ilişkilendirilir $\bar{x},\bar{y}$ nın-nin $V$ skaler bir miktar $\langle \bar{x},\bar{y}\rangle$ve aşağıdaki özellikleri karşılar: $$\langle \bar{x},\bar{x} \rangle>0$$

$$\langle \bar{x},\bar{y}\rangle=\langle \bar{y}, \bar{x} \rangle$$

$$\langle a\bar{x}+b\bar{y},\bar{z}\rangle=a\langle \bar{x},\bar{z}\rangle+b\langle \bar{y},\bar{z}\rangle.$$

Üzerindeki tüm sürekli işlevlerin alt uzayını düşünün $[a,b]$ ; $\Bbb{C}$. Şimdi, vektörler için kanıtlamak istediğimiz iç çarpımları içeren bir ifademiz olduğunu varsayalım.$\bar{x}, \bar{y} \in \Bbb{C}.$ Örneğin, aşağıdaki iç çarpımı kullanmayı seçtiğimi varsayalım: $$\langle \bar{x},\bar{y}\rangle=\int_a^bx(t)y(t) dt.$$

Eğer ifade bu iç çarpım için doğruysa , o zaman diğer tüm iç çarpımlar için de geçerlidir.$\Bbb{C}$?

Genel olarak iç ürünlerle çalışırken, o özel durum için hangi tür iç ürünün uygun olduğu konusunda bir seçim derecesi vardır - ancak bu seçimin (varsa) ne etkisi olabilir?

Answer 1

Hayır, bir iç ürün için doğru olan bir ifade diğeri için doğru olmayabilir. Örneğin, bir uzunluk tanımlamak için bir iç çarpım kullanabilirsiniz.$$ \| x \| = \langle x,x \rangle^\frac12 $$

Standart iç ürünün altında $\Bbb R$ (tarafından tanımlanan $(x, y) \mapsto xy$), sahibiz $$ \| 2 \| = 2 $$Örneğin. Ama farklı bir iç çarpım altında,$(x, y) \mapsto 2xy)$, sahibiz $$ \| 2 \| = 4. $$ Şimdi bu oldukça yapmacık görünebilir, ama yapmacık olanı yapılmamış olandan ayırmak zor olabilir.