İlk Koşullar ve Paralel Rezonans Devre Problemi

Question

^{bu devreyi simüle edin - CircuitLab kullanılarak oluşturulan şematik}

Zaten kendi çözümümü yaptım, ancak her şeyi doğru yapıp yapmadığımı kontrol etmek istiyorum, özellikle de başlangıç ​​koşullarını belirlerken. İşte benim anlayışım:

Dolayısıyla, t <0 için, akım kaynağı ve kondansatör açık devredir ve indüktör kısa devre olacaktır. Bu nedenle, tüm akım kısa devreli indüktöre akacaktır.$$ t<0: $$ $$ i(0) = 3A; $$ $$ v(0) = 30; $$ $$ \frac{di (0)}{dt} = \frac{30}{4} = 7.5 $$

Şimdi, t> 0'da: 30V kaynak ve 10 ohm direnç ile kaynak dönüşümü yapabiliriz, dolayısıyla her şey paralel olacaktır. 9 A akım kaynağı elde etmek için 6 A ve 3 A'yı birleştirdim ve elde etmek için iki direnci birleştirdim:

$$ t>0: $$ $$ i(0^+) = 9A; $$ $$ R = 10||40 = 8; $$ $$ resonant freq. = \frac{1}{√LC} = 5 = 7.5 $$ $$ α = \frac{1}{2RC} = 6.25 $$ $$ s_1 = -2.5, s_2 = -10 $$ Burada, aşırı sönümlenmiş bir yanıt alacağımızı görebiliriz, dolayısıyla çözümümüz şu şekilde olacaktır: $$ i(t) = I_f + A_1e^{-2.5t} + A_2e^{-10t} $$

A1 almak için: $$ i(0) = I_f + A_1 + A2 $$ $$ 3 = 9 + A_1 + A_2 $$ $$ -6 - A_2 = A_1 $$

A2 almak için: $$ \frac{di (0)}{dt} = \frac{30}{4} = 7.5 = -2.5A_1 + -10A_2 $$ $$ 7.5 = -2.5(-6-A_2) - 10A_2 $$ $$ A_2 = 1 $$ $$ A_1 = -7 $$

Yani son denklemim şöyle olacaktır: $$ i(t) = 9 -7e^{-2.5t} + e^{-10t} $$

Her şeyi doğru mu yaptım? İlk koşul analizimin yanlış olduğunu hissediyorum, ancak LTspice kullanarak kontrol ettiğimde, mevcut indüktörün t <0 için neredeyse 3A ve t> 0 için 9A olmasını sağlıyorum. Ancak Vc düğümündeki voltajı kontrol ettiğimde, anlamadığım 3mV alıyorum.

Answer 1

Burada teorik çözümü sunacağım. için \$- \infty < t < 0\$Bu RLC paralel devresinde yalnızca voltaj kaynağı mevcuttur ve bu, \ değerinde bir başlangıç ​​indüktör akımı oluşturur.$i(0-)=i(0+)= 30 \space V / 10 \space \Omega = 3 \space A\$. Ayrıca şunu da unutmayın \$v(0-)=v(0+)= 0 \space V\$, çünkü indüktör \ için kısa devre olarak görülebilir$t < 0\$. Böylece devre aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi dönüştürülebilir:

KCL'nin üst düğüme uygulanması:

$$ -I + \frac{v(t)}{R} + C\frac{d}{dt}v(t) + i(t) = 0 $$

Değiştiriliyor \$v(t) = L\frac{d}{dt}i(t)\$

$$ LC\frac{d^2}{dt^2}i(t) + \frac{L}{R}\frac{d}{dt}i(t) + i(t) = I $$

Karakteristik polinom:

$$ LCs^2 + \frac{L}{R}s + 1 = 0 $$

Köklerle

$$ s_{1,2} = -\frac{1}{2RC} \space \pm \sqrt{\left ( \frac{1}{2RC}\right )^2 - \frac{1}{LC}} $$

As \$\left ( \frac{1}{2RC}\right )^2 > \frac{1}{LC}\$, sistem iki gerçek ve farklı kökle aşırı sönümlendi \$s_1 = -2.5\$ve \$s_2 = -10\$ mevcut durum için.

Tam yanıt, forma sahiptir

$$ i(t) = i_f + A_1e^{-s_1t} + A_2e^{-s_2t} $$

nerede \$i_f\$zorunlu yanıttır (bu durumda, \$9 \space A\$). Sabitler \$A_1\$ve \$A_2\$ başlangıç ​​koşullarından belirlenebilir.

$$ \left\{\begin{matrix} i(0) = I + A1 + A2 & (1)\\ \frac{d}{dt}i(0) = -s_1A_1 -s_2A_2 & (2)\\ \end{matrix}\right. $$

Şunu unutmayın \$v(0) = L\frac{d}{dt}i(0)\$. As \$v(0) = 0 \space V\$sonra, \$\frac{d}{dt}i(0) = 0 \space A/s\$ Bu nedenle

$$ \left\{\begin{matrix} 3 = 9 + A1 + A2 & (1)\\ 0 = -2.5A_1 -10A_2 & (2)\\ \end{matrix}\right. $$

Çözümleniyor, \$A_1 = -8\$e \$A_2 = 2\$

Son olarak, Ampere'deki indüktör akımı

$$ i(t) = 9 -8e^{-2.5t} + 2e^{-10t}$$

Grafik ile