IMO 1998 - Kombinatorik

Question

Bu IMO Kombinatorik problemini deniyorum $1998$ P2 şu şekildedir:

Bir yarışmada var $m$ yarışmacılar ve $n$ yargıçlar, nerede $n \geq 3$tek bir tamsayıdır. Her yargıç, her yarışmacıyı "geçti" veya "başarısız" olarak değerlendirir. Varsayalım$k$ herhangi iki jüri için derecelendirmeleri en fazla çakışan bir sayıdır $k$yarışmacılar. Kanıtla$$\frac{k}{m}\geq \frac{n-1}{2n}$$

Nasıl başlayacağım konusunda şaşkınım, bana herhangi bir ipucu verebilir misiniz?

Answer 1

Kombinasyonların sayısını düşünün $(\{j_1, j_2\},c)$, nerede $\{j_1, j_2\}$ bir çift farklı yargıç ve $c$anlaştıkları bir yarışmacıdır. Bu miktara iki şekilde ulaşabilirsiniz:

1. Yarışmacıların toplamı, onlar üzerinde anlaşan yargıç çiftlerinin sayısı.

2. Hakem çiftlerinin toplamı, üzerinde anlaştıkları yarışmacıların sayısı.

Daha sonra 1.'de toplanan miktar, aşağıdaki ifadeyi içeren bir ifade ile sınırlandırılabilir: $n$ (hatırlamak $n$ tuhaf), 2'de toplanan miktar yukarıda aşağıdakilerle sınırlanabilir: $k$. Birleştirmek istenen eşitsizliği verir.