Işık konisinde 4 + 1D dalga nasıl görünür?

Oct 14 2020

Bu cevabın altındaki birkaç yorumu anlamlandırmak için yardıma ihtiyacım var . Aşağıdaki yorumları yeniden yazmamın en iyisi olduğunu düşünüyorum:

" Green'in uzamsal boyutlarda bile dalga denklemi için işlevi, ışık konisinin içinde pozitif-tanımlıdır, bu nedenle yıkıcı parazit elde edemezsiniz ".
“ (4 + 1) 𝐷 dalga denklemi için Green fonksiyonu gerçekten de oturum kesin kesinlikle ışık konisi içinde, ama tam olarak ışık konisinin üzerindeki zıt bir delta-işlevi vardır. Bkz. (36) bu kaynaktan ”.
" Göründüğü kadar imkansız görünse de, boyutsal olarak (4 + 1) 𝑑'dan (3 + 1) 𝑑 boşluğa küçültüldüğünde, ilk pozitif dalga cephesi geçtikten sonra, sonsuz süreli negatif uyanmanın sürekli olduğu büyülü bir komplo olduğundan şüpheleniyorum. dördüncü uzamsal boyutta her zamankinden daha uzaktaki kaynaklardan gelen ardışık pozitif dalga cepheleri tarafından tam olarak iptal edildi ”.

Sorularım daha çok ikinci yorumla ilgili. Bunun için Green fonksiyonları ne anlama geliyor 4 + 1D dalga denkleminin bir sahip hafif koni üzerinde zıt işareti delta-fonksiyonunu tam olarak ?

Ne olur dalga gibi bakmak bu konuma (ışık konisi) at?

Yorumlarda belirtilen negatif terimi (ters işaret delta fonksiyonu) dengelemek için aynı yerde (ışık konisi) başka pozitif terimlerin olması gerekmez mi?

Dalganın o konumda nasıl görüneceğini hayal etmeyi umuyorum, bu yüzden fazla matematik olmadan daha çok kavramsal bir cevap arıyorum.

Yanıtlar

2 Ruslan Oct 16 2020 at 22:45

Bu yazıdaki referans kolaylığı için denklemler ref olarak numaralandırılmıştır. 1.

Denklem $(36)$ OP'de alıntı yapılan okumalar

$$G_4(r,t)=\frac1{4\pi^2c^3}\left(\frac{\delta(t-r/c)}{r(t^2-r^2/c^2)^{1/2}}-\frac{\eta(t-r/c)}{c(t^2-r^2/c^2)^{3/2}}\right).\tag{36}$$

Buraya $\delta$ Dirac deltası ve $\eta$ Heaviside adım işlevidir.

Tek başına, bu ifade gerçekte neler olup bittiğini anlamaya yardımcı olmuyor: İlk terimdeki Dirac deltası deltanın dağılımsal tekilliğinde tekil olan bir fonksiyonla çarpılır ve ikinci terim integrallenemez. Öyleyse, bu Green'in işlevini aşağıdaki gibi bir dağıtım olarak değerlendirmenin bir yolu olsa bile$\langle G_4,h\rangle$ sorunsuz bir test işlevi için $h$, Sanırım ifadenin bir şekilde dönüştürülmesi gerekecekti.

Başka bir yoldan gidelim. Yani, nasıl denklemden başlayın$(36)$Türetildi. Ref yazarlar. 1, Green'in fonksiyonunu (5 + 1) boyutlu dalga denklemi için entegre ederek türetmiştir,

$$G_5=\frac1{8\pi^2c^2}\left(\frac{\delta(\tau)}{r^3}+\frac{\delta'(\tau)}{cr^2}\right),\tag{32}$$

nerede $\tau=t-r/c$, integral kullanarak 5 boyutlu uzayda düzgün dağıtılmış kaynaklar hattı boyunca

$$G_{n-1}(r,t)=2\int_r^\infty s(s^2-r^2)^{-1/2}G_n(s,t)ds,\tag{25}$$

nerede $r=r_{n-1}$ radyal koordinat $(n-1)$boyutlu uzay.

Bir Green'in bir dalga denklemi için fonksiyonunun, denklemin dürtü tepkisi olduğunu unutmayın, yani sonsuz küçük boyut ve süreye sahip birim dürtü eyleminden sonra ortaya çıkan dalga, $f(r,t)=\delta(r)\delta(t)$. Görselleştirme amaçları için, bu dürtüyü en az bir değişkende sonlu olanla değiştirmek yararlıdır, örneğin zaman. Öyleyse başka bir kuvvet fonksiyonu seçelim$f(r,t)=\delta(r)F(t)$, nerede $F$ Gauss işlevi olarak tanımlanır

$$F(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right).$$

Ardından, denklemi takip ederek $(34)$(5 + 1) boyutlu denklemin yer değiştirme yanıtını alacağız.

$$\phi_5(r,t)=\frac1{8\pi^2c^2}\left(\frac{F(\tau)}{r^3}+\frac{F'(\tau)}{cr^2}\right).\tag{34}$$

Şimdi, yer değiştirme yanıtını bulmak için $\phi_4(r,t)$ (4 + 1) boyutlu denklemin $\phi_5$ onun yerine $G_5$ içinde $(25)$. Ortaya çıkan integralin kapalı bir formu yok gibi göründüğü için aşağıdaki animasyonlar$\phi_4(r,t)$ sayısal kareleme kullanılarak yapılmıştır.

Aşağıdaki animasyonlarda kullandığımız $c=1$.

Önce nasıl olduğunu görelim $\phi_5(r,t)$görünüyor. Bu, onu karşılaştırmamızı sağlayacaktır.$\phi_4(r,t)$. Aşağıdaki animasyon kullanır$\sigma=0.005.$

Temelde iki sivri uçlu olduğunu görebiliriz: bir pozitif ve bir negatif. Artıralım$\sigma$ -e $\sigma=0.04$ bunları daha iyi çözmek için:

Şimdi nihayet bakabiliriz $\phi_4(r,t)$. Aşağıdaki animasyon kullanır$\sigma=0.005$, yukarıdaki ilki gibi.

Bu dalganın $\phi_5(r,t)$: ilki, ışık konisinin içinde bir "kuyruğa" sahiptir, yani buradaki pozitif sivri uçun LHS'sinde. Bu kuyruk karşılık gelir (sınırda$\sigma\to0$) denklemdeki ikinci, negatif terime $(36)$pozitif yükselme ise Dirac deltası ile ilk terime karşılık gelir.

Yani cevap

Green'in 4 + 1B dalga denklemi için fonksiyonunun tam olarak ışık konisi üzerinde bir zıt işaret delta fonksiyonuna sahip olması ne anlama geliyor ?

tam olarak şudur: ışık konisinin içinde negatif bir uyanış ve ışık konisinde zıt işaret, yani pozitif, Dirac delta, yani sonsuz yüksek ve dar sivri uç vardır.