İskoç Kitap Problemi 172

Question

Sorun eski terminoloji kullanılarak formüle edildi ve gerçekte ne dediğini anlamak istiyorum.

Sorun şu şekildedir: "Bir boşluk $E$(B) türünün rastgele bir doğrusal fonksiyonal kümesinin zayıf kapanması zayıf bir şekilde kapatılmışsa (a) özelliğine sahiptir. [Doğrusal işlevler dizisi$f_n(x)$ zayıf bir şekilde birleşir $f(x)$ Eğer $f_n(x) \to f(x)$ her biri için $x$.] Boşluk $E$ (B) türünün (B) türü, (b) özelliğine sahiptir, eğer her doğrusal işlev dizisi zayıf yakınsak, eşlenik uzayda bir dizi eleman olarak zayıf bir şekilde yakınsarsa $\bar{E}$. Soru: (a) özelliğine sahip (B) tipindeki her ayrılabilir alan, (b) özelliğine de sahip midir? "

Modern terminolojide "(B) tipi uzayın" "Banach uzayı" anlamına geldiğini biliyorum.

S1: "Doğrusal işlevsel" süreklilik varsayımını içeriyor mu?

S2: Eşlenik uzay nedir? Sürekli doğrusal fonksiyonallerin ikili uzayı anlamına mı geliyor?$E$?

S1 ve Q2'nin cevapları evet ise, bu, (b) özelliğine sahip Banach boşluklarının günümüzde Grothendieck uzayları olarak adlandırıldığı anlamına gelecektir. [Grothendieck alanı bir Banach alanıdır$E$ öyle ki ikili uzaydaki her sekans $E^*$ zayıf yakınsayan * - yani $\sigma(E^*,E)$ - aynı zamanda zayıf bir şekilde birleşir - yani $\sigma(E^*,E^{**})$.]

Bir totoloji gibi göründüğü için, "gelişigüzel bir doğrusal fonksiyonal kümesinin zayıf kapanması zayıf bir şekilde kapatılmıştır" koşulunu nasıl anlayacağımdan da emin değilim. Burada sıralı bir kapatmayı düşündüğümüz nokta mı?

Answer 1

Hem Q1 (verilen bağlamda) hem de Q2'nin yanıtı evettir. Bana sıralı zayıf yıldız yakınsaması gibi görünen, doğrusal işlevselliğin keyfi bir kümesinin zayıf kapanması ile ilgili olarak - yani, zayıf yıldız topolojisinde sıralı olarak birleşirlerse, ikili üzerindeki zayıf topolojide birleşirler.