İşlev önemsiz endomorfizmdir

Question

Temsil teorisi üzerine aşağıdakileri söyleyen bir ders kitabı okuyorum.

$G$ indirgenemez temsili sonlu bir gruptur $\rho:G\to GL(V)$ tarla üzerinde $k$ (muhtemelen cebirsel olarak kapalı, tüm alanların cebirsel olarak kapalı olduğu varsayımı var ki bu kitapta bu sayfaya uzandığından emin değilim). $\phi$ dan bir sınıf işlevidir $G$ -e $k$ doyurucu $(\phi,\chi_\rho)=0$. Tanımlamak$$T=\frac{1}{\#G}\sum\limits_{g\in G}\phi(g^{-1})\rho_g.$$ Metin iddia ediyor ki $T=0$. Bunu nasıl göreceğimi bilmiyorum. Nedenini anlıyorum$T\in End_GV$öyleyse $k$ cebirsel olarak kapalıysa, onu bazı unsurlarıyla tanımlayabiliriz $k$ (ve ne olursa olsun $End_GV$ bir bölme halkasıdır, Schur'un lemmasına göre), ancak nedenini anlamıyorum $T$ olmalıdır $0$.

Burada kaçırdığım bir şey mi var? Şimdiden teşekkürler.

Answer 1

Karakteristik sıfırda olduğunuzu varsayıyorum.

Dediğin gibi, $T$ skaler bir matristir (Schur lemması).

İzi $T$ dır-dir $$\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\phi(g^{-1})\textrm{Tr}(\rho_g)=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\phi(g^{-1})\chi_\rho(g)=(\phi,\chi_\rho)=0.$$ Gibi $T=\lambda I$ ve iz sıfıra sahipse $\lambda=0$.

Answer 2

Varsayalım $T=aI$ kimlik haritasının skaler bir katıdır.

İzleri almak verim $\mathrm{tr}(T)=(\dim V)a=(\phi,\chi)=0$, yani $a=0$.

(Sanırım $\dim V$ temel alanda ters çevrilebilir.)