İspat $A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$

Question

Setler için bunu kanıtlamaya çalışıyorum $A$ ve $B$ sahibiz $$A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$$

Ben şu şekilde ilerliyorum:

Eğer $x\in A\setminus(A\setminus B),$ sonra $$\begin{align}x\in A \wedge x\notin(A\setminus B) \tag1& \iff x\in A \wedge (x\notin A \vee x\in B)\\ &\iff (x\in A \wedge x\notin A) \vee(x\in A \wedge x\in B)\tag2\\ & \iff x\in A \wedge x \in B\tag3\\ & \iff x\in A\cap B\tag4\end{align}$$

O zamandan beri $A\setminus(A\setminus B)\subset A\cap B$ ve $A\cap B \subset A\setminus(A\setminus B)$, sahibiz

$$A\setminus(A\setminus B) = A \cap B$$

Sorum şu: ne yapıyor $(x\in A \wedge x \notin A)$ doğrultusunda katkıda bulunmak $2$? Kanıtın işe yaraması için, birinin varsayılması gerekir$x\in A \wedge x \notin A $ demekle eşdeğerdir $x\in\emptyset$. Bu doğru mu?

Answer 1

Beyan $x\in A\wedge x\notin A$ gerçekten de şu ifadeye eşdeğerdir: $x\in\varnothing$.

Ancak bu tamamen her iki ifadenin de yanlış olduğu gerçeğine dayanıyor .

Örneğin şu ifadeye de eşdeğerdir: $1=2$.

Beyan $p\vee q$ gerçek bir ifadedir $p$ gerçek bir ifadedir veya $q$ gerçek bir ifadedir.

Yani bu durumda gözlemlersek $p$ yanlıştır o zaman sonuca varırız $q$ doğru.

Answer 2

Doğru. Nasıl olabilir$x$ ikisi de içeride $A$ ve ayrıca içinde olmamak $A$? Bu asla gerçekleşmez, yani biz "veya" başka bir şeyle bu koşulda, aynı şekilde imkansız koşulu atlayabiliriz (3. satır bu şekilde elde edilmiştir).

"Yedi yaşındayım ve dokuz yaşındayım" veya "Saksılı bir bitkiye sahibim", "Saksılı bir bitkiye sahibim" ile eşdeğerdir.