İspat $e^z$ holomorfik

Question

Onu bir yerde okudum $e^z$holomorfik bir fonksiyondur, ancak bunu kanıtlamanın kolay bir yolunu düşünemiyorum. Cauchy Riemann denklemlerini kullanmayı düşündüm, ama bu muhtemelen abartılıdır. Bu işlevin holomorfik olduğunu göstermek için basit bir yaklaşım var mı?

Answer 1

Tanımınıza bağlıdır $e^z$. En standart tanım, onu güç serisi aracılığıyla tanımlamaktır.$$ e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}, $$her yerde yakınsak olduğu kolayca görülebilir. O zaman, bir kuvvet serisinin, yakınsama yarıçapı içinde her yerde bir holomorfik fonksiyonu tanımladığı genel teoremini kullanabilirsiniz.

Answer 2

$e^{z}$ olarak tanımlanır :

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}.$$

Bu serinin yakınsama yarıçapı $\infty$. Dolayısıyla analitik bir işlevdir.

Answer 3

Diğer yanıtlar üstel olanı kuvvet serileri cinsinden tanımladığınızı varsayar. Eğer tanımlarsan$e^z = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y)$, şunu görüyorsunuz:

1. Her iki koordinat işlevi de sonsuz derecede türevlenebilir olduğundan, $e^z$ iki değişkenin bir fonksiyonu olarak sonsuz türevlenebilir
2. $\frac{\partial}{\partial x} e^z = e^z$
3. $\frac{\partial}{\partial y} e^z = ie^z$

Şimdi bu Cauchy-Riemann denklemlerini uygulamak kadar basit.

---

"Aşırı öldürme" olup olmadığını ele almak için - her şeyden önce, işe yararsa işe yarıyor . Henüz problemi çözmeyi bitirmemişken aşırı öldürme konusunda endişelenmek, pekala,https://stackify.com/premature-optimization-evil/.

İkincisi, kurs ilerledikçe holomorfiye eşdeğer koşulların bir listesini toplamanız gerekir ("açık bir kümedeki her noktada karmaşık-türevlenebilir", "Cauchy-Riemann denklemlerini etki alanındaki her noktada karşılar", " açık bir sette her noktada güç serisi ", ...).

En iyi olanı seçmeye çalışmak yerine, listeyi gözden geçirmek ve her koşulun nasıl geçerli olduğunu görmek muhtemelen daha öğretici olacaktır .$e^z$. Bu (a) tüm araç setinizle pratik yapmanızı sağlar ve (b) aracı gelecekteki problemle daha iyi eşleştirmenizi sağlar.