Jeneratörleri $S_4$

Question

Grup $S_4$ tarafından üretilir $\{(12), (1234)\}$Şimdi bilmek istediğim bir şey, bir düzen döngüsü ile nasıl üreteceğim $4$ ve herhangi bir düzen döngüsü $3$ ve sipariş et $2$.

Ana sorum homomorfizmlerin sayısını bulmak ve eğer $\varphi(1234) \to -1$ ve $\varphi (12) \to -1$.

Öyleyse buradan herhangi bir tuhaf permütasyonun $-1$ ve herhangi biri gidecek $1$. (Homomorfizm teoremleri kullanılarak değil kaba hesaplamalarla gösterilmelidir).

Gerçekten biraz yardıma ihtiyacım var.

Answer 1

Herhangi bir garip permütasyon $π$ bir kelime olarak ifade edilebilir olmalıdır $(12)$ ve $(1234)$ garip uzunlukta $n$, çünkü ikisi de tuhaf. Böylece$\varphi(π)=(-1)^n=-1$, dan beri $\varphi$ bir homomorfizmdir.

Answer 2

Bir temsil teorisi kullanmak (bkz. https://math.stackexchange.com/q/3842441/432081) Çalışıyorum, permütasyonları çarpmak için bir string işleme python programı geliştirdim. Adım adım çalışma grubu alt kümemizin boyutunu artırdım; tek ve tek bir standart temsil vardır.

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

Buradan kalanını 'soyabilirsin' $5$ transpozisyonlar ve herhangi bir transpozisyon için nedenini açıklayın $\omega$,

$\quad \varphi(\omega) = -1$