Kanıtlamak: $(\Delta x)(\Delta \lambda) \geq \frac{\lambda^2}{4\pi}$

Question

Şu anda formülün üzerinden geçiyordum

$$(\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{h}{4\pi}$$

Bu tabii ki Heisenberg'in Belirsizlik İlkesinin ekli biçimidir . Ama bu formülü de alıyorum

$$(\Delta x)(\Delta \lambda)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}.$$

Sanırım bu Heisenberg ilkesinin bir uzantısıdır, ancak kitapta böyle bir not almadım. Dahası, belki de Broglie'nin hipotezinden gelmiş olabilir ve biraz hesaplama olabilir, ancak bu sadece bir tahmin. Bu nedenle, bu nedenlerden dolayı sizden bir cevap diliyorum ve dahası , bu formülün Heisenberg prensibinde olduğu gibi bazı fiziksel yorumlarına sahip olmak daha iyi olacaktır .

Answer 1

İki rastgele operatör için genel belirsizlik ilkesinden başlayarak$\Omega$ ve $\Phi$ $$(\Delta\Omega)^2(\Delta\Phi)^2\geq\frac{1}{4}\left|\langle \psi | [\Omega,\Phi] | \psi\rangle\right|^2$$ nerede $|\psi\rangle$ keyfi bir durumdur ve $[\Omega,\Phi]=\Omega\Phi-\Phi\Omega$, komütatör. De Broglie'den biliyoruz ki$\lambda=\frac{h}{p}$; bundan hareketle, sahiplik parantezini$x$ ve $\lambda$ gibi $$\begin{align}\{\lambda,x\}&=\frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial x}{\partial x}\frac{\partial\lambda}{\partial p}\\ &=\frac{h}{p^2}\\ &=\frac{\lambda^2}{h}\end{align}$$ Dirac'ın popüler nicemleme kuralı (çoğu durumda işe yarar) şunu söylemektir: $$\{\omega,\phi\}=\frac{2\pi}{i h}[\Omega,\Phi]$$ Böylece sahibiz $$[\Lambda, X]=i\frac{\Lambda^2}{2\pi}$$. Bunu orijinal genel belirsizlik ilkesine takarsak,$$(\Delta\Lambda)^2(\Delta X)^2\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle^2}{16\pi^2}$$ ve böylece $$(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}$$ Şimdi, standart sapmanın tanımından, bunu biliyoruz $(\Delta X )^2+\langle X\rangle^2=\langle X^2\rangle$, Böylece sahibiz $$\begin{align} (\Delta\Lambda)(\Delta X)&\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}\\ &\geq\frac{1}{4\pi}((\Delta\Lambda)^2+\langle\Lambda\rangle^2) \\ &\geq\frac{\langle\Lambda\rangle^2}{4\pi} \end{align} $$çünkü standart sapma pozitif tanımlıdır. Böylece, beklenti değerini ifade eden$\Lambda$ gibi $\lambda$, sonunda sahibiz $$\bbox[5px,border:2px solid black]{(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}}$$Bu belirsizlik ilkesi, normal konum-momentum ilkesinden farklıdır; Belirsizliklerin çarpımının her zaman sabitten büyük olması yerine, standart konum sapmasının ve dalga boyunun çarpımı, dalga boyunun ortalama değerinden daha büyük veya buna eşittir.$4\pi$. Böylece, konum ve dalga boyundaki belirsizlikleri, dalga boyunun ortalama değeri ile ilişkilendirir.