Kontur integrali $\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}$

Question

Entegre etmek isterim $\int_0^{\infty}\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}\mathrm{d}x$ nerede $m$ bir tamsayıdır.

Görünüşe göre hem gerçek tekillikler var $x = \frac{n\pi}{a}$ ve hayali $x = \frac{\pi}{2 I} +I \pi n$.

Bu, kontur entegrasyonunun gidilecek yol olduğunu gösteriyor gibi görünüyor .

Şimdi bundan sonra nasıl ilerleyeceğimi bilmiyorum.

Answer 1

İçin $m>0$, $\displaystyle\frac{\sin axm}{\sin ax}=\sum_{k=0}^{m-1}\cos(m-1-2k)ax$, dolayısıyla verilen integral aşağıdaki gibi şeylerin toplamıdır $$\int_0^\infty\frac{\cos bx}{1+e^{ax}}\,dx=\frac{1}{2a}\left[f\left(\frac{ib}{a}\right)+f\left(-\frac{ib}{a}\right)\right]\tag{*}\label{mainint}$$ bir kompleks için nerede $z$ ile $\Re z>-1$, $$f(z)=\int_0^\infty\frac{e^{-zx}}{1+e^x}\,dx\underset{e^{-x}=t}{=}\int_0^1\frac{t^z\,dt}{1+t}=\int_0^1\frac{t^z-t^{z+1}}{1-t^2}\,dt\\\underset{t^2=x}{=}\frac12\int_0^1\frac{x^{(z-1)/2}-x^{z/2}}{1-x}\,dx=\frac12\left[\psi\left(1+\frac{z}{2}\right)-\psi\left(\frac{1+z}{2}\right)\right],$$ ile $\psi$digamma fonksiyonu (bitti gibi nihai eşitlik gösterilmektedir burada ). Kosinüs yerine sinüs olsaydı$\eqref{mainint}$, $\psi$yansıtma formülü nedeniyle azalır . Kosinüs yerindeyken, bunlar nihai sonuç kadar değil. Bu yüzden kontur entegrasyonunun yararlı bir şey vermesini beklemiyorum .