Lim sup bulmak

Question

Bunu çözmenin bir yolunu bulamıyorum. Lim sup tanımını kullanmayı denedim ama hiçbir yere varamadım.

Seriyi düşünün: $\sum^\infty_{n=1} a_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\cdots$

Sonra $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=$

Düzenleme: Dün gece yaptığım iş bu. Çalışmamı göstermediğim için özür dilerim.

Diziye baktım $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. Benzediğini gözlemledim$\frac{2}{3}, \frac{3}{2^2}, \frac{2^2}{3^2},\frac{3^2}{2^3},\cdots$.

Yani genel terimler şöyle görünür: $(\frac{2}{3})^n$ için $n$ garip ve $\frac{1}{2}(\frac{3}{2})^n$ için $n$ hatta.

Kuyruk dizilerinin üstünlüklerine baktım ve sonra bunların alt sınırlarını bulmaya karar verdim. Bulduğum sekans$\infty$ dizisinden beri her bir kuyruk dizisinin üstünlüğü olarak $n$hatta monoton bir şekilde artıyor. Böylece limsup'un olması gerektiği sonucuna vardım$\infty$. Ancak cevap olarak verildi$\frac{1}{2}$.

Bulduğum bu sıra elbette bir hata çünkü aldığım üsler yanlış.

Sıra aslında şöyle görünüyor $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\cases{(\frac{2}{3})^{\frac{n+1}{2}}& n is odd\\ \frac{1}{2}(\frac{3}{2})^\frac{n}{2}& n is even}$

Ama yine de, kuyrukların üstünlüğü dizisi yalnızca şunlardan oluşur: $\infty$ ve dolayısıyla üstünlüklerin en azı $\infty$. Neyi kaçırıyorum?

Answer 1

Argümanınız tamamen iyi ve buradaki "haydut", sorunun nasıl olduğunu belirsizleştirdiği için sorunun yazarı. $a_{n}$ifade edilmelidir. Bazı yazarlar için doğru bulduğum bir şey şudur; şüphe duyulduğunda bir Matematik ders kitabı her zaman "üç" ile yazılır.

---

Tedavi etmek yerine $a_{n}$ alternatif karşılıklı güçler dizisi olmak $2$ ve $3$alıyoruz $a_{n}$ eşit güçler dizisi olmak $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}$, ardından söz konusu dizinin alternatif (ve geriye dönüp bakıldığında gerçek) bir tanımını alırız. Aşağıdaki hesaplama sırasına göre$\lim \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$:

İlk olarak yeniden yazarak $a_{n}$ ortak bir paydaya göre $a_{n}=\frac{3^{n}+2^{n}}{6^{n}}$ ve bu yüzden

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6(2^{n}+3^{n})}.$$

Pay ve payda bölünüyor $3^{n+1}$ varıyoruz $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}.$$ Şimdi beri $$(\frac{2}{3})^{n},(\frac{2}{3})^{n+1}\to 0 \ \text{as} \ n \to \infty$$ anladık $$\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim \frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}=\frac{1}{2}.$$ Çünkü $\lim \sup x_{n} = \lim x_{n}$ bir dizi için $x_{n}$ hangisi yakınsarsa, bunu çıkarabiliriz $$\lim_{n\to\infty} \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$$.