Limit tanımını kullanmak

Question

Bunu kanıtlamam gerek $\lim_{x\to 0}\frac{ax + b}{cx + d} = \frac{b}{d}$ 𝜖, 𝛿 tarzı bir kanıt kullanarak

Bunun nasıl yapılacağına dair herhangi bir fikriniz var mı?

Answer 1

İpucu: farkı düşünün $\left|\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{b}{d}\right|$ ve kesirler üzerindeki doğal koşulları tahmin etmeye çalışın: $$\left|\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{b}{d}\right| = \left|\frac{x(ad-bc)}{d(cx+d)}\right|= |x|\left|\frac{(ad-bc)}{d(cx+d)}\right|$$ Basit olması için varsayalım $c,d>0$, sonra sahip olmak $-\delta<x<\delta$ elde ederiz $-c\delta+d<cx+d<c\delta+d$. Öyleyse, böyle düşünebiliriz$\delta>0$ hangisi için $|cx+d|>M>0$. Örneğin almak$\delta >\frac{d}{2c}$ verir $|cx+d|>\frac{d}{2}$ Yani sahip olacağız $$\left|\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{b}{d}\right| < \delta\frac{2|ad-bc|}{d^2}<\varepsilon$$. Bu ikinci koşul$\delta$ ve ilk bitirme kanıtı ile birleştirme.